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Álgebra (espacio vectorial)



En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo K, o una K-álgebra, es un espacio vectorial A sobre K equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de A. Una generalización directa admite que K sea cualquier anillo conmutativo. Algunos autores[1]​ utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa".

Para ser exactos, sea un espacio vectorial sobre el cuerpo , y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:

Tal que es bilineal, es decir, tal que para todo :

Entonces con esta operación, se convierte en un álgebra sobre y es el cuerpo base del álgebra .

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario : necesitamos un módulo sobre y una operación bilineal sobre el espacio vectorial como la arriba descrita; entonces es una -álgebra, y es el anillo bajo . Dos álgebras y sobre son isomorfas si existe una aplicación lineal biyectiva f: tal que f (xy) = f(x)f(y) para todo x, y en . Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de a está determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la base de A. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para , los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en , es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo K, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos n), y especificar los n3 coeficientes de estructura ci,j,k, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en vía la regla siguiente:

Donde e1,...en una base de A. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión n es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo ci,jk, y se escribe usando el convenio de sumación de Einstein como

Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en

Si K es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si es un módulo libre sobre K. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de ; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar:

Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos. Éstos incluyen:



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