Álgebra multilineal

En la matemática, el álgebra multilineal es un área de estudio que generaliza los métodos del álgebra lineal. Los objetos de estudio son los productos tensoriales de espacios vectoriales y las transformaciones multi-lineales entre los espacios.

El álgebra multilineal hace un uso intensivo de la notación multi-índice. Una notación de ese tipo hace representar las combinaciones lineales por un conjunto de dos o más índices repetidos.

${displaystyle sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+cdots +X^{n}e_{n}}$

${displaystyle B=B^{11}e_{1}otimes e_{1}+B^{12}e_{1}otimes e_{2}+B^{21}e_{2}otimes e_{1}+B^{22}e_{2}otimes e_{2}}$

${displaystyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}e_{i_{1}}otimes cdots otimes e_{i_{p}}otimes e^{j_{1}}otimes cdots otimes e^{j_{q}}}$

Todo lo anterior sólo ha sido considerando que el espacio vectorial es de dinensión finita igual a n.

Teniendo dos espacios vectoriales V, W, con respectivas bases ${displaystyle {b_{1},...,b_{n}}}$, ${displaystyle {c_{1},...,c_{m}}}$ se define su producto tensorial

${displaystyle Votimes W:=langle {b_{i}otimes c_{j}} angle }$

es decir el espacio vectorial generado por los nuevos símbolos

${displaystyle {b_{1}otimes c_{1},b_{1}otimes c_{2},...,b_{n}otimes c_{m-1},b_{n}otimes c_{m}}}$

Y por lo tanto si un objeto X que vive en (pertenece a) ${displaystyle scriptstyle Votimes W}$ entonces él se puede representar como una combinación lineal

${displaystyle X=X^{11}b_{1}otimes c_{1}+X^{12}b_{1}otimes c_{2}+cdots +X^{ij}b_{i}otimes c_{j}+cdots +X^{nm}b_{n}otimes c_{m}}$

y la cual se va a abreviar como

${displaystyle X=X^{st}b_{s}otimes c_{t}}$

los índices repetidos s o t, una vez arriba y una vez abajo -está convenido- indica sumación, cada uno.

Esta definición es absolutamente abstracta, pero desde el punto de vista algebraico no hay ningún problema explorar todas las posibilidades del producto tensorial. Una plétora de espacios surge (y de importancia capital) simplemente al considerar un espacio vectorial V y su dual ${displaystyle V^{*}}$ uno obtiene los espacios:

${displaystyle Votimes Votimes V=V^{3otimes }}$

${displaystyle scriptstyle Votimes V^{*}={ m {Hom}}(V)}$

${displaystyle scriptstyle V^{*}=Lambda ^{1}(V),}$

${displaystyle scriptstyle Vwedge V}$

${displaystyle scriptstyle Lambda ^{k}(V),}$

Todos ellos de uso cotidiano en la geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, relatividad y cuántica, teorías de campo, QFT, TQFT y otras.

Sea ${displaystyle V}$ generado por los ${displaystyle b_{i}}$. Simbolicemos con ${displaystyle eta ^{mu }}$ la base de dual ${displaystyle scriptstyle V^{*}}$. Cualquier elemento de ${displaystyle scriptstyle V^{*}otimes V^{*}}$ se escribe de la forma ${displaystyle scriptstyle B_{mu u }eta ^{mu }otimes eta ^{ u }}$. Esta misma expresión puede ser vista como un mapa bilineal

sabiendo que ${displaystyle scriptstyle eta ^{mu }otimes eta ^{ u }(b_{i},b_{j})={delta ^{mu }}_{i}{delta ^{ u }}_{j}}$ - kronecker.

Otro de rango dos es ${displaystyle scriptstyle Votimes V^{*}}$. Los elementos de aquí se ven como combinaciones lineales bi-indexadas ${displaystyle scriptstyle {B^{mu }}_{ u }b_{mu }otimes eta ^{ u }}$.