Geometría algebraica

La geometría algebraica es una rama de la matemática que, como sugiere su nombre, combina el álgebra abstracta, especialmente el álgebra conmutativa, con la geometría analítica. Se puede comprender como el estudio de los conjuntos de soluciones de los sistemas de ecuaciones algebraicas. Cuando hay más de una variable, aparecen las consideraciones geométricas que son importantes para entender el fenómeno. Podemos decir que la materia en cuestión comienza cuando abandonamos la mera solución de ecuaciones, y el tema de "entender" todas las soluciones se vuelve tan importante como el de encontrar alguna solución, lo cual lleva a las "aguas más profundas" del mundo de la matemática, tanto conceptual como técnicamente.

En la geometría algebraica clásica, el principal objeto de interés son los conjuntos donde se anula cierta colección de polinomios, lo que quiere decir, el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente una o más ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, una esfera de radio r de dos dimensiones en el espacio euclídeo de tres dimensiones R³ se puede definir como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que

Un círculo "inclinado" en R³ puede definirse como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen las dos ecuaciones polinómicas siguientes:

Comenzamos en primer lugar con un cuerpo k. En geometría algebraica clásica, este cuerpo fue siempre C, los números complejos, pero muchos de los resultados son también ciertos si solo asumimos que k es algebraicamente cerrado. Definimos ${displaystyle {mathbb {A} }_{k}^{n}}$, llamado n-espacio afín sobre k, como kⁿ. Usaremos esta notación pues no siempre se trabajará con un cuerpo k. Abstractamente hablando, ${displaystyle {mathbb {A} }_{k}^{n}}$ es, de momento, solamente una colección de puntos.

Por tanto, en adelante eliminaremos la k en ${displaystyle {mathbb {A} }_{k}^{n}}$ y escribiremos ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$.

Diremos que una función ${displaystyle f:{mathbb {A} }^{n} o {mathbb {A} }^{1}}$ es regular si puede escribirse mediante un polinomio, esto es, si existe un polinomio p sobre k [x₁,...,x_n] tal que para cada punto (t₁,...,t_n) de ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$, f(t₁,...,t_n)=p(t₁,...,t_n). Las funciones regulares sobre el n-espacio afín son de esta manera lo mismo que los polinomios sobre k en n variables. Escribiremos las funciones regulares sobre ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$ como ${displaystyle k[{mathbb {A} }^{n}]}$.

Diremos que un polinomio se anula en un punto si al evaluarlo en él el resultado es cero. Sea S un conjunto de polinomios en ${displaystyle k[{mathbb {A} }^{n}]}$. El conjunto anulador de S (o locus anulador) es el conjunto V(S) de todos los puntos en ${displaystyle mathbb {A} ^{n}}$ donde cada polinomio de S se anule. En otras palabras,

Un subconjunto de ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$ que es un V(S) para algún S se llama conjunto algebraico afín. La V se refiere a la inicial de variedad. En muchos textos no existe diferencia entre variedad algebraica afin y conjunto algebraico afín, sin embargo es usual referirse a V(S) como variedad algebraica afín cuando no se puede expresar como unión de dos subconjuntos algebraicos afines propios (contenidos en el sentido estricto). En cualquier caso, esta última definición coincide con la de conjunto algebraico afín irreducible. De forma que, en determinados textos, las nociones de variedad e irreducibilidad son equivalentes.

Dado un conjunto V de ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$ del que sepamos que es una variedad, sería deseable determinar el conjunto de polinomios que lo genera, aunque haremos una definición para un caso más general: si V es cualquier subconjunto de ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$ (no necesariamente una variedad), definimos I(V) como el conjunto de todos los polinomios cuyo conjunto anulador contiene a V. La I esta vez es por Ideal: si tengo dos polinomios f y g y los dos se anulan en V, entonces f+g también se anula en V, y si h es cualquier polinomio, entonces hf se anula en V, así que I(V) es siempre un ideal de ${displaystyle k[{mathbb {A} }^{n}]}$.

Dos cuestiones que se plantean ahora son: si tenemos un subconjunto V de ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$, ¿cuándo es V=V(I(V))? Y, si tenemos un conjunto de polinomios, S, ¿cuándo es S=I(V(S))? La respuesta a la primera cuestión la provee la introducción de la topología de Zariski, una topología en ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$ que refleja directamente la estructura algebraica de ${displaystyle k[{mathbb {A} }^{n}]}$. Entonces V=V(I(V)) si y solo si V es un conjunto Zariski-cerrado. La respuesta a la segunda cuestión viene dada por la Hilbert Nullstellensatz. En una de sus formas, dice que S=I(V(S)) es el ideal radical del ideal generado por S.

Por varias razones no siempre queremos trabajar con todo el ideal correspondiente a un conjunto algebraico V. El teorema de la base de Hilbert implica que los ideales en ${displaystyle k[{mathbb {A} }^{n}]}$ siempre se generan finitamente.

Entonces se tiene que un conjunto algebraico es una irreducible (o en algunos casos simplemente variedad) si y solo si los polinomios que lo definen generan un ideal primo del anillo de polinomios.

Al igual que las funciones continuas son las aplicaciones naturales en los espacios topológicos y las funciones suaves son las aplicaciones (morfismos) naturales en las variedades diferenciables, existe una clase natural de funciones sobre un conjunto algebraico, llamadas regulares. Una función regular sobre un conjunto algebraico V contenido en ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$ está definida como la restricción de una función regular en ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$, en el sentido definido arriba.

Puede parecer antinaturalmente restrictivo el requerir que una función regular siempre se extienda al espacio ambiente, pero esta situación es muy similar a la que se da en un espacio topológico normal, donde el teorema de extensión de Tietze garantiza que una función continua en un subconjunto cerrado siempre puede extenderse al espacio topológico ambiente.

Al igual que las funciones regulares en un espacio afín, las funciones regulares en V forman un anillo, que denotamos como k[V]. A este anillo se le llama el anillo coordenado de V.

Ya que las funciones regulares en V provienen de las funciones regulares en ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$, debería haber una relación entre sus anillos coordenados. Específicamente, cogiendo una función de k[V] lo estamos haciendo en ${displaystyle k[{mathbb {A} }^{n}]}$, y dijimos que era la misma que otra función si daban los mismos valores cuando las evaluávamos en V. Esto es lo mismo que decir que su diferencia es cero en V. De esto podemos ver que k[V] es el cociente ${displaystyle k[{mathbb {A} }^{n}]/I(V)}$.

Usando las funciones regulares desde una variedad afín a ${displaystyle {mathbb {A} }^{1}}$, podemos definir las funciones regulares de una variedad afín a otra. Primero definiremos una función regular de una variedad a un espacio afín: sea V una variedad contenida en ${displaystyle {mathbb {A} }^{n}}$. Elige m funciones regulares en V, y llámalas f₁,...,f_m. Definimos una función regular f de V a ${displaystyle {mathbb {A} }^{m}}$ mediante f(t₁,...,t_n)=(f₁,...,f_m). En otras palabras, cada f_i determina una coordenada del rango de f.

Si V es una variedad contenida en ${displaystyle {mathbb {A} }^{m}}$, decimos que f es una función regular de V a V' si el rango de f está contenido en V.

Esto convierte a la colección de todas las variedades afines en una categoría, cuyos objetos son variedades afines y cuyos morfismos son las aplicaciones regulares. El teorema siguiente caracteriza esta categoría:

Considérese la variedad V(y=x²). Si la dibujamos en un sistema de coordenadas cartesianas obtenemos una parábola. Según x crece, vemos que la pendiente de la línea que va desde el origen hasta el punto (x, x²) se hace más y más grande. Según x decrece, la pendiente de la misma se hace más y más pequeña.

Comparemos esto con la variedad V(y=x³). Ésta es una ecuación cúbica. Según x crece, la pendiente de la línea desde el origen hasta el punto (x, x³) se hace mayor, como antes. Pero, al contrario que en la anterior, según x decrece, la pendiente de la misma línea se hace mayor. Así que el comportamiento "al infinito" de V(y=x³) es diferente del de V(y=x²). Sin embargo, es difícil dar sentido al concepto de "al infinito", si nos restringimos al espacio afín.

El remedio a esto es trabajar en el espacio proyectivo, que tiene propiedades análogas a las de un espacio de Hausdorff compacto. Entre otras cosas, nos permite hacer precisa la noción de "al infinito" mediante la inclusión de puntos extra. El comportamiento de una variedad en aquellos puntos extra nos da más información sobre ella. Y se ve que V(y=x³) tiene una singularidad en uno de aquellos puntos extra, pero V(y=x²) es suave.

Los primeros geómetras algebraicos se dieron cuenta rápidamente de que el espacio proyectivo tiene propiedades mucho mejores que el afín ordinario. Por ejemplo, el Teorema de Bézout sobre el número de puntos de intersección entre dos variedades puede ser mostrado en su forma más afilada solo en el espacio proyectivo. Por esta razón, este espacio tiene un papel fundamental en la geometría algebraica.

El estudio moderno de la geometría algebraica redefine los objetos básicos de su estudio. Las variedades quedan subsumidas en el concepto de esquema, de Alexander Grothendieck. Este viene de la observación de que si las k-álgebras reducidas finitamente generadas son objetos geométricos, entonces quizás cualquier anillo conmutativo podría serlo. Como se comprueba así, este es un nuevo punto de vista muy fructífero, y es la base para toda la investigación moderna en geometría algebraica.

Una clase importante de variedades son las variedades abelianas, que son aquellas cuyos puntos forman un grupo.

Los ejemplos prototípicos son las curvas elípticas, que fueron un instrumento fundamental para la prueba del último teorema de Fermat y se usan también en criptografía de curvas elípticas.

Mientras que mucha de la geometría algebraica trata de proposiciones abstractas y generales sobre variedades, también se han desarrollado los métodos para la computación efectiva con polinomios concretos dados. La técnica más importante es la de las bases de Gröbner, que se emplea en todos los sistemas de álgebra computacional.

La geometría algebraica fue desarrollada enormemente por los geómetras italianos a principios del siglo XX. Enriques clasificó las superficies algebraicas salvo isomorfismo biracional. El estilo de este grupo de matemáticos fue muy intuitivo y no tenía el rigor moderno.

Sobre los años 1930 y 1940, Oscar Zariski, André Weil y otros se dieron cuenta de que esta disciplina necesitaba refundarse mediante el álgebra conmutativa. El álgebra conmutativa (como el estudio de los anillos conmutativos y sus ideales) había sido y fue desarrollada por David Hilbert, Max Noether, Emanuel Lasker, Emmy Noether, Wolfgang Krull y otros. Antes de ellos no existían fundamentos estándar para la geometría algebraica.

En los años 1950 y 1960, Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck rehicieron la fundamentación haciendo uso de la teoría de haces. Más tarde, alrededor de 1960, se desarrolló la idea de los esquemas, conjuntamente con el refinado aparato del álgebra homológica. Tras una década de rápido desarrollo, el campo se estabilizó en los años 1970, y surgieron aplicaciones en la teoría de números y en las más clásicas cuestiones geométricas de variedades algebraicas, singularidades y módulos.

Un libro clásico:

Textos modernos sin el lenguaje de esquemas:

Libros y referencias para los esquemas:

En Internet:

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