Álgebra sobre un cuerpo

En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo K, o una K-álgebra, es un espacio vectorial A sobre K equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de A. Una generalización directa admite que K sea cualquier anillo conmutativo. Algunos autores^{[cita requerida]} utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa".

Para ser exactos, sea ${displaystyle (V_{mathbb {K} },+)}$ un espacio vectorial sobre el cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$, y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:

${displaystyle cdot :V_{mathbb {K} } imes V_{mathbb {K} } o V_{mathbb {K} }}$

Tal que es bilineal, es decir, tal que para todo ${displaystyle u,v,win V,lambda in mathbb {K} }$:

Entonces con esta operación, ${displaystyle V_{mathbb {K} }}$ se convierte en un álgebra sobre ${displaystyle mathbb {K} }$ y ${displaystyle mathbb {K} }$ es el cuerpo base del álgebra ${displaystyle {mathcal {A}}=(V_{mathbb {K} },+,cdot )}$.

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario ${displaystyle R}$: necesitamos un módulo ${displaystyle {mathcal {A}}}$ sobre ${displaystyle R}$ y una operación bilineal sobre el espacio vectorial como la arriba descrita; entonces ${displaystyle {mathcal {A}}}$ es una ${displaystyle R}$-álgebra, y ${displaystyle R}$ es el anillo bajo ${displaystyle {mathcal {A}}}$. Dos álgebras ${displaystyle {mathcal {A}}}$ y ${displaystyle {mathcal {B}}}$ sobre ${displaystyle mathbb {K} }$ son isomorfas si existe una aplicación lineal biyectiva f: ${displaystyle {mathcal {A}} o {mathcal {B}}}$ tal que f (xy) = f(x)f(y) para todo x, y en ${displaystyle {mathcal {A}}}$. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de ${displaystyle {mathcal {A}} imes {mathcal {A}}}$ a ${displaystyle {mathcal {A}}}$ está determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la base de A. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para ${displaystyle {mathcal {A}}}$, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en ${displaystyle {mathcal {A}}}$, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo K, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos n), y especificar los n³ coeficientes de estructura c_i,j,k, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en ${displaystyle {mathcal {A}}}$ vía la regla siguiente:

${displaystyle mathbf {e} _{i}mathbf {e} _{j}=sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}mathbf {e} _{k}}$

Donde e₁,...e_n una base de A. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión n es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo c_i,j^k, y se escribe usando el convenio de sumación de Einstein como

Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en

Si K es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si ${displaystyle {mathcal {A}}}$ es un módulo libre sobre K. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de ${displaystyle {mathcal {A}}}$; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar:

Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos. Éstos incluyen: