3-variedad

En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$.

Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera ${displaystyle S^{3},}$. Otro más es el espacio proyectivo ${displaystyle mathbb {R} P^{3}}$. Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

O bien fibrados de la forma ${displaystyle S^{1}subset E o Sigma }$, donde ${displaystyle Sigma }$ es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También tenemos los fibrados de las forma ${displaystyle Fsubset E o S^{1}}$, siendo ${displaystyle F}$ una superficie cerrada. Estos son fuente de ejemplos muy importantes.

Hay 3-variedades con frontera, como la 3-bola unitaria ${displaystyle D^{3},}$ o el toro sólido ${displaystyle D^{2} imes S^{1}}$, cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente. La botella de Klein sólida es otro ejemplo de tres variedad con frontera que es una superficie una botella de Klein.

También están todos los fibrados de la forma

donde ${displaystyle I}$ es un intervalo y ${displaystyle F}$ una superficie. Ejemplo es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein, ${displaystyle K{stackrel {sim }{ imes }}I^{O}}$, que es el fibrado ${displaystyle I}$ que construye pegando dos toros sólidos identificando dos aros en la frontera, uno en cada uno de ellos. Cada uno de estos aros es la vecindad regular de una curva ${displaystyle (2,1),}$ dos-longitudes y un meridiano, i.e. un nudo tórico. Sabemos que su frontera, ${displaystyle partial (K{stackrel {sim }{ imes }}I^{O})}$, es un toro ${displaystyle S^{1} imes S^{1}}$. Además ${displaystyle K{stackrel {sim }{ imes }}I^{O}}$ corresponde a ${displaystyle M{ddot {o}}{stackrel {sim }{ imes }}S^{1}}$.

Otro ejemplo es el producto cartesiano ${displaystyle M{ddot {o}} imes S^{1}}$ de la banda de Möbius con el círculo y el cual es ${displaystyle T{stackrel {sim }{ imes }}I}$ y es diferente a ${displaystyle K{stackrel {sim }{ imes }}I^{O}}$.

También la frontera ${displaystyle partial (M{ddot {o}} imes S^{1})}$ es ${displaystyle (partial M{ddot {o}}) imes S^{1}}$, lo cual, también es un toro ${displaystyle S^{1} imes S^{1}}$.