Acción de Polyakov

En física, la acción de Poliakov es la acción bidimensional de una teoría de campos conforme que describe la hoja de universo de una cuerda en teoría de cuerdas. Fue introducida por Stanley Deser y Bruno Zumino e independientemente por L. Borde, P. Di Vecchia y P. S. Howe (En Physics Letters B65, páginas 369 y 471 respectivamente), y ha sido asociada con Aleksandr Poliakov después de que la empleara para cuantizar la cuerda. La acción es

donde ${displaystyle T}$ es la tensión de la cuerda, ${displaystyle g_{mu u }}$ es la métrica de la variedad del espacio objetivo (espaciotiempo en el que se mueve la cuerda), ${displaystyle h_{ab}}$ es la métrica de la hoja de universo, ${displaystyle h^{ab}}$ su inversa, y ${displaystyle h}$ es el determinante de ${displaystyle h_{ab}}$. La signatura métrica está escogida tal que las direcciones temporales son + y las direcciones espaciales son -. La coordenada espacial en la hoja de universo es ${displaystyle sigma }$, y la coordenada temporal ${displaystyle au }$. La acción de Poliakov es un ejemplo de modelo sigma no lineal.^[1]​

Aquí, una simetría se dice que es local o global desde el punto de vista de la teoría bidimensional (en la hoja de universo). Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz, que son simetrías locales del espacial-tiempo, son simetrías globales de la teoría en la hoja de universo.

La acción es invariante bajo traslaciones espaciotemporales y transformaciones de Lorentz infinitesimales:

donde ${displaystyle omega _{mu u }=-omega _{ u mu }}$ y ${displaystyle b^{alpha }}$ es una constante. Esto forma la simetría de Poincaré de la variedad objetivo.

La invariancia bajo (i) se sigue de que la acción ${displaystyle {mathcal {S}}}$ depende sólo de la primera derivada de ${displaystyle X^{alpha }}$. La prueba de la invariancia bajo (ii) es como sigue:

La acción es inavriante bajo worldsheet difeomorfismos (o transformaciones de coordenadas) y transformaciones de Weyl de la hoja de universo.

Se supone la transformación siguiente:

Transforma el tensor métrico en la manera siguiente:

Se puede ver que:

Se sabe que el jacobiano de esta transformación está dada por:

lo que lleva a

y se ve que

con lo cual esta transformación deja la invariante la acción.

Se suponer la transformación de Weyl:

entonces:

y finalmente:

Y se puede ver que la acción es invariante bajo transformaciones de Weyl. Si consideramos objetos (espacialmente) extendidos de n dimensiones cuya acción es proporcional a su área/hiperárea de la hoja del universo, a no ser que n=1, la acción de Poliakov correspondiente tendría otro término que rompería la simetría Weyl.

Se puede definir el tensor de energía-impulso:

Definiendo

Debido a la simetría de Weyl, la acción no depende de ${displaystyle phi }$:

Utilizando difeomorfismos y transformaciones de Weyl, con un espacio objetivo de Minkowski, se puede hacer la transformación físicamente irrelevante ${displaystyle {sqrt {-h}}h^{ab} ightarrow eta ^{ab}}$, escribiendo así la acción en el gauge conforme:

donde ${displaystyle eta _{ab}=left({egin{array}{cc}1&0\0&-1end{array}} ight)}$

Recordando que ${displaystyle T_{ab}=0}$ se pueden obtener las ligaduras:

Sustituyendo ${displaystyle X^{mu } ightarrow X^{mu }+delta X^{mu }}$ se obtiene:

y en consecuencia:

Con las condiciones de frontera necesarias para satisfacer la segunda parte de la variación de la acción.

Trabajando en coordenadas del cono de luz, ${displaystyle xi ^{pm }= au pm sigma }$, se pueden reescribir las ecuaciones de movimiento como:

Así, la solución puede ser escrita cuando y la tensión-tensor de energía es ahora diagonal.${displaystyle X^{mu }=X_{+}^{mu }(xi ^{+})+X_{-}^{mu }(xi ^{-})}$ Por Fourier que expande la solución e imponiendo canónico commutation relaciones en los coeficientes, aplicando la segunda ecuación de movimiento motiva la definición del Virasoro operadores y conduce a las ligaduras de Virasoro, que se anulan cuando actúan sobre estados físicos.

Escribiendo la ecuación de Euler–Lagrange para el tensor métrico ${displaystyle h^{ab}}$ se obtiene:

Sabiendo también que:

Se puede escribir la derivada variacional de la acción:

donde ${displaystyle G_{ab}=g_{mu u }partial _{a}X^{mu }partial _{b}X^{ u }}$, lo que lleva a:

Si se calcula el tensor métrico de la hoja de universo ${displaystyle {sqrt {-h}}}$ usando las ecuaciones de movimiento:

y se sustituye en la acción, se obtiene la acción de Nambu–Goto:

Sin embargo, la acción de Poliakov es más fácil de cuantizar porque es lineal.

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