Aplicación logística

La aplicación logística o ecuación logística es una aplicación matemática que se hizo muy conocida en 1976 gracias a un artículo científico del biólogo Robert May y que fue estudiada más en profundidad por el físico Mitchell Feigenbaum. May pretendía hallar un modelo demográfico^[1]​ sencillo que explicase la dinámica de una población de la que se ha supuesto que tiene un crecimiento cada vez más lento a medida que se acerca a una cantidad de individuos considerada como límite.

May comprobó que al cambiar los valores del único parámetro del modelo este presentaba soluciones muy distintas y a veces muy complejas pese a que se trata de una simple aplicación polinómica de grado 2. Por ello este modelo es a menudo citado como un ejemplo de representación de lo complejo que puede ser un comportamiento caótico aunque se parta de un modelo de sencilla expresión. Por ejemplo, el matemático y divulgador John Allen Paulos ha opinado que si un sistema tan trivial como esta ecuación puede evidenciar una impredecibilidad tan caótica entonces se debería ser menos taxativo y dogmático en relación con los efectos que se han predicho que tendrán ciertas políticas ecológicas sobre un sistema tan gigante y complejo como es el planeta Tierra.^[2]​

La aplicación logística puede expresarse matemáticamente como:

Donde:

Esta ecuación no lineal describe dos efectos:

Este modelo asume que los recursos para la población son ilimitados y que no hay mortalidad debido a la competencia con otras especies.

Sin embargo, como modelo demográfico, la aplicación logística tiene el patológico problema de que para algunas condiciones iniciales y ciertos valores de parámetros conduce a tamaños de población negativos. Este problema no aparece en el modelo de Ricker Mayor, que también presenta una dinámica caótica.

Fue el físico Robert May (Australia, 1936), pionero en la interdisciplina física-biología, quien estudió este modelo no lineal buscando una manera sencilla de explicar la dinámica poblacional. Su objetivo al crear este modelo era que en principio la población en un instante podía predecirse a partir de la población en un instante previo al multiplicarla por una constante, pero que además tuviese en cuenta el hecho de que a medida que la población crece y se acerca a un valor considerado máximo, el valor de la población resulta cada vez menos alejado del valor previo. Esto reflejaría, por ejemplo, que para valores de la población muy grandes faltarán alimentos y las enfermedades se propagarán con más facilidad.^[3]​

El modelo describe en tiempos discretos la evolución de una población a partir del conocimiento de la misma en un instante inicial. La variable ${displaystyle x_{n}}$ es la fracción de individuos en un territorio (respecto de un nº máximo que puede ser sustentado) a un tiempo dado. O sea, que el valor "0" representa la ausencia de población y el valor "1" la existencia de tantos individuos como sea posible. El modelo describiría el valor futuro de la población a partir del conocimiento del valor presente. En principio se multiplica la fracción de la población presente por una constante. Pero además, para tener en cuenta el hecho de que al haber más población, la competencia entre los individuos aumenta y la población crece con más dificultad, multiplica a la fracción poblacional por la diferencia entre 1 y el valor poblacional actual.^[3]​

Sin embargo pronto se dio cuenta de que el modelo presentaba una gran cantidad de soluciones según cual fuera el valor del parámetro que se utilizara, y que esas soluciones eran muy distintas entre sí. En efecto, en algunos casos la solución consistía en una compleja alternancia de valores que no convergían ni a valores estacionarios ni a soluciones periódicas.

El hecho de que la iteración del cálculo para distintos valores del parámetro r condujese a soluciones complejas, que parecían aleatorias en su comportamiento pese a tratarse de un modelo determinista muy sencillo causó gran impacto a nivel científico, y fue uno de los detonantes del estudio de lo que se llamaría teoría del caos.^[3]​

Según el valor que se le adjudique a "r", se observán los siguientes comportamientos:

El diagrama de bifurcación resume todo. El eje horizontal muestra los valores del parámetro r, y el eje vertical muestra el valor de x que tiende al infinito. Además el diagrama de es un fractal: si se hace un "zoom" en torno al valor mencionado de ${displaystyle 1+{sqrt {8}}}$ y se centra en una de las tres ramas, la situación se asemeja a una versión limitada y distorsionada de todo el diagrama. Lo mismo puede decirse de todos los demás puntos no caóticos.

En 1975 Feigenbaum demostró que todos los mapas de bifurcación unidimensionales observan las llamadas constantes de Feigenbaum ${displaystyle delta =4.669201...}$,${displaystyle alpha =2.502907...}$ ^[5]​^[6]​ para toda relación ${displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ en donde ${displaystyle f(x)}$ sea una función con un máximo parabólico. Dichas constantes aparecen independientemente de la naturaleza de la función ${displaystyle f(x)}$ que se use para construir el mapa.

Este comportamiento es fácil de observar con el modelo simplificado para la descripción de la dinámica de un láser discreto ${displaystyle x ightarrow Gx(1- anh(x))}$ (tercer gráfico, imagen de la derecha) donde ${displaystyle x}$ representa la amplitud del campo eléctrico y ${displaystyle G}$ ^[7]​ la ganancia del láser, que para el propósito de construir el mapa se emplea como parámetro de bifurcación.

El incremento gradual de ${displaystyle G}$ en el intervalo ${displaystyle [0,infty )}$ genera un comportamiento que va de regular a caótico^[8]​ con un diagrama de bifurcación que es cualitativamente idéntico a aquel de la aplicación logística.

---