Arco conexo

En topología un espacio topológico se dice que es conexo por arcos o arcoconexo si dos elementos cualesquiera pueden conectarse mediante una curva homeomorfa al intervalo unidad.

Sea ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ un espacio topológico. Un arco en ${displaystyle X_{}^{}}$ es un embebimiento ${displaystyle sigma :[0,1]longrightarrow X}$, es decir, una aplicación continua que es un homeomorfismo restringida a su rango ${displaystyle sigma :[0,1]longrightarrow sigma ([0,1])}$. Obviamente se puede sustituir ${displaystyle [0,1]_{}^{}}$ por cualquier otro intervalo cerrado ${displaystyle [a,b_{}^{}]}$, ya que son todos homeomorfos.

Se dice que ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ es un espacio conexo por arcos o arcoconexo si para cada par de puntos distintos ${displaystyle x,yin X}$, existe un arco ${displaystyle sigma }$ tal que ${displaystyle sigma (0)=x_{}^{}}$ y ${displaystyle sigma (1)=y_{}^{}}$.

Es obvio que todos los espacios conexos por arcos son conexos por caminos. El recíproco no es en general cierto. Como contraejemplo basta considerar la recta con dos orígenes: Tómense dos copias de la recta real, ${displaystyle mathbb {R} imes {0}}$ y ${displaystyle mathbb {R} imes {1}}$. Definimos la recta con dos orígenes como el espacio cociente ${displaystyle R}$ que se obtiene al identificar ${displaystyle (t,0)}$ con ${displaystyle (t,1)}$ si ${displaystyle t eq 0}$. Intuitivamente, este espacio es como la recta real, pero posee dos orígenes (las clases de equivalencia de ${displaystyle (0,0)}$ y ${displaystyle (0,1)}$) que son imposibles de separar. Luego este espacio no es de Hausdorff. Más aún, no existe ningún arco que una ambos orígenes. Por lo tanto ${displaystyle R}$ no es arcoconexo, pero es sencillo comprobar que sí es conexo por caminos.

A pesar de que en general ambas nociones son distintas coinciden en una de las clases más importantes de espacios topológicos, los Hausdorff.