Homeomorfismo

En topología, un homeomorfismo (del griego ὅμοιος (homoios) = misma y μορφή (morphē) = forma) es una función de un espacio topológico a otro, que cumple con ser una función biyectiva continua y cuya inversa es continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicen homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo homeomorfismos se denominan propiedades topológicas.

En la categoría de espacios topológicos, los morfismos son las funciones continuas y los isomorfismos son los homeomorfismos. Consecuentemente, la composición de dos homeomorfismos es de nuevo un homeomorfismo, y el conjunto de todos los homeomorfismos h:X → X de un espacio en sí mismo forman un grupo llamado grupo de homeomorfismos de X, que suele notarse como Homeo(X).

De modo intuitivo, el concepto de homeomorfismo refleja cómo dos espacios topológicos son «los mismos» vistos de otra manera: permitiendo estirar, doblar o cortar y pegar. Sin embargo, los criterios intuitivos de «estirar», «doblar», «cortar y pegar» requieren de cierta práctica para aplicarlos correctamente. Deformar un segmento de línea hasta un punto no está permitido, por ejemplo. Contraer de manera continua un intervalo hasta un punto es otro proceso topológico de deformación llamado homotopía.

La definición de homeomorfismo es la siguiente:

Homeomorfismo

Sean ${displaystyle X}$ e ${displaystyle Y}$ espacios topológicos, y ${displaystyle f}$ una función de ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$; entonces, ${displaystyle f}$ es un homeomorfismo si se cumple que:

Si ${displaystyle f:X o Y}$ es un homeomorfismo, ${displaystyle X}$ se dice homeomorfo a ${displaystyle Y}$. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.

Un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables cuya inversa también es diferenciable; es decir, es un isomorfismo de variedades diferenciables. Los cambios de coordenadas constituyen un caso particular de difeomorfismo.

Un ejemplo para distinguir entre homeomorfismo y difeomorfismo:

También:

En física los difeomorfismos son ampliamente usados: