Biholomorfismo

En la teoría matemática de funciones de una o más variables complejas, y también en la geometría algebraica compleja, un biholomorfismo o función biholomorfa es una función holomorfa biyectiva cuya inversa también es holomorfa .

Formalmente, una función biholomorfa es una función ${displaystyle phi }$ definido en un subconjunto abierto ${displaystyle U}$ de ${displaystyle n}$ norte-el espacio complejo dimensional ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$con valores en ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ que es holomorfo y uno a uno , de modo que su imagen es un conjunto abierto ${displaystyle V}$ en ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ y el inverso ${displaystyle phi ^{-1}:V o U}$ También es holomorfa. De manera más general, U y V pueden ser variedades complejas . Como en el caso de las funciones de una sola variable compleja, una condición suficiente para que un mapa holomórfico sea biholomórfico en su imagen es que el mapa es inyectivo, en cuyo caso el inverso también es holomórfico (por ejemplo, véase Gunning 1990, Teorema I. 11).

Si existe un biholomorfismo ${displaystyle phi colon U o V}$, decimos que ${displaystyle U}$ y ${displaystyle V}$ son biholomorphically equivalentes o que son biholomórfico.

Si ${displaystyle n=1,}$ cada conjunto abierto simplemente conectado que no sea todo el plano complejo es biholomorfo al disco unidad (este es el teorema de mapeo de Riemann). La situación es muy diferente en dimensiones más altas. Por ejemplo, las bolas unitarias abiertas y los polidiscos unitarios abiertos no son biholomorfamente equivalentes para ${displaystyle n>1.}$. De hecho, no existe ni siquiera una función holomorfa adecuada de uno a otro.

En el caso de los mapas f : ${displaystyle U}$ → ${displaystyle mathbb {C} }$ definidos en un subconjunto abierto ${displaystyle U}$ del plano complejo ${displaystyle mathbb {C} }$, algunos autores (p. e., Freitag 2009, Definición IV.4.1) definen un mapa conforme como un mapa inyectivo con derivada distinta de cero, es decir, f '( z ) ≠ ${displaystyle 0}$ para cada z en ${displaystyle U}$. De acuerdo con esta definición, un mapa f : ${displaystyle U}$ → C es conforme si y solo si f : U → f ( U) es biholomorfa. Otros autores (p. Ej., Conway 1978) definen un mapa conforme como uno con derivada distinta de cero, sin requerir que el mapa sea inyectivo. De acuerdo con esta definición más débil de conformalidad, un mapa conforme no necesita ser biholomórfico a pesar de que es localmente biholomorfa. Por ejemplo, si ${displaystyle f:U}$ → ${displaystyle U}$ se define por ${displaystyle f(z)=z^{2}}$ con ${displaystyle U}$ = ${displaystyle mathbb {C} }$ - {0}, entonces f es conforme en ${displaystyle U}$ , ya que su derivada f '( z ) = 2 z ≠ 0, pero no es biholomorphic, ya que es 2-1.