Campila de Eudoxo

La campila de Eudoxo (en griego καμπύλη: curva) es una curva determinada por una ecuación cartesiana:

${displaystyle x^{4}=x^{2}+y^{2}}$

de la cual se ha de excluir la solución x = y = 0, o, en coordenadas polares:

${displaystyle r=sec ^{2} heta ,.}$

El astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnido (c. 408 a. C. - c. 347 a. C.) estudió esta curva cuártica en relación con el problema clásico de la duplicación del cubo.

La campila es simétrica con respecto a ambos ejes: ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$. Corta el eje ${displaystyle x}$ en ${displaystyle (-1,0)}$ y en ${displaystyle (1,0)}$. Tiene cuatro puntos de inflexión, en:

${displaystyle (pm {sqrt {3/2}},pm {sqrt {3}}/2)}$

(uno en cada cuadrante). La primera mitad de la curva es asintótica a ${displaystyle x^{2}-{frac {1}{2}}}$ cuando ${displaystyle x o infty }$. En efecto se puede escribir así:

${displaystyle y=x^{2}{sqrt {1-x^{-2}}}=x^{2}-{frac {1}{2}}sum _{ngeq 0}C_{n}(2x)^{-2n}}$

donde

${displaystyle C_{n}={frac {1}{n+1}}{inom {2n}{n}}}$

es el ${displaystyle n}$-ésimo número de Catalan.