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Simetría



La simetría (del griego őύν "con" y μέτροv "medida") es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos:

En condiciones formales, un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática si el resultado de aplicar esa operación o transformación al objeto, el resultado es un objeto indistinguible en su aspecto del objeto original. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslación, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. Además de simetrías geométricas existen simetrías abstractas relacionadas con operaciones abstractas como la permutación de partes de un objeto.

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta:

Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son:

Una relación binaria R = S × S es simétrica si para cada elemento a, b en S, siempre que sea cierto que Rab, también será cierto Rba.[1]​ Por lo tanto, la relación «tiene la misma edad que» es simétrica, porque si Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.

En lógica proposicional, las conectivas lógicas binarias simétricas incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que la conectiva si (→) no es simétrica.[2]​ Otras conectivas lógicas simétricas incluyen no y (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y ni (no-o, o ⊽).

Se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada, si, cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto.[3]​ El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo.

En general, todo tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Los ejemplos incluyen funciones pares e impares en cálculo, grupos simétricos en álgebra abstracta, matrices simétricas en álgebra lineal,[4]​ y grupos de Galois en la teoría de Galois. En estadística, la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría, la asimetría de distribuciones.[5]

La simetría se encuentra en la arquitectura en todas las escalas, desde las vistas externas generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca, pasando por el diseño de los plantas y hasta el diseño de elementos de construcción individuales como mosaicos de baldosas. Los edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita de Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación.[6][7]​ Los edificios moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones complejos realizados utilizando simetrías de traslación y reflexión, así como rotaciones.[8]

La arquitectura modernista, comenzando con el estilo internacional, se basa en cambio en «alas y equilibrio de masas».[9]

En dibujo existen cinco simetrías importantes que son simetría de traslación, rotación, ampliación, bilateral, abatimiento.

Una larga tradición del uso de la simetría en alfombras abarca una variedad de culturas. Los indios navajos estadounidenses usaban diagonales en negrita y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen intrincados centros y bordes reflejados que traducen un patrón. No es sorprendente que las alfombras rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo, es decir, motivos que se reflejan tanto en el eje horizontal como en el vertical.[10][11]

Como los quilts están hechas de bloques cuadrados (generalmente 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada pieza más pequeña generalmente consiste en triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la aplicación de la simetría.[12]

Aparecen simetrías en el diseño de objetos de todo tipo. Los ejemplos incluyen abalorios, muebles, pinturas de arena, nudos, máscaras e instrumentos musicales. Las simetrías son fundamentales para el arte de M. C. Escher y las muchas aplicaciones del mosaico en formas de arte y artesanía como papel tapiz, azulejos de cerámica como en la decoración geométrica islámica, batik, ikat, fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y bordados.[13]

La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos.[14]​ Al crear un logotipo en una cuadrícula y utilizar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentuar partes del logo para que se destaque.

La relación de la simetría con la estética es compleja. Los seres humanos encuentran la simetría bilateral en los rostros físicamente atractivos;[15]​ indica salud y aptitud genética.[16][17]​ A esto se opone la tendencia a que la simetría excesiva se perciba como aburrida o poco interesante. La gente prefiere formas que tengan algo de simetría, pero con la complejidad suficiente para hacerlas interesantes.[18]

La simetría se puede encontrar en varias formas en la literatura, un ejemplo simple es el palíndromo donde un texto breve lee lo mismo hacia adelante o hacia atrás. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como en el patrón de subida/bajada de Beowulf.[19]

En física el concepto de simetría puede formularse en una forma no geométrica. Si K es un conjunto de objetos matemáticos del mismo tipo (funciones, formas geométricas, ecuaciones, ...) que representan algunas propiedades de un sistema físico y G es un grupo de transformaciones que actúa sobre K de tal manera que:

Se dice que un elemento presenta simetría si:[20]

Así por ejemplo varias leyes de conservación de la física son consecuencia de la existencia de simetrías abstractas del lagrangiano, tal como muestra el teorema de Noether. En ese caso K representaría el conjunto de lagrangianos admisibles, k0 el lagrangiano del sistema bajo estudio y G puede representar traslaciones espaciales (conservación del momento lineal), traslaciones temporales (conservación de la energía), rotaciones (conservación del momento angular) u otro tipo de simetrías abstractas (conservación de la carga eléctrica, el número leptónico, la paridad, etc.)

Estos dos ejemplos anteriores son casos del teorema de Noether, un resultado general que establece que si existe un grupo uniparamétrico de simetría G para el lagrangiano tal que:

Entonces la cantidad escalar:

Siendo v el campo vectorial que general el grupo uniparamétrico de transformaciones de simetría, y pi los momentos conjugados de las coordenadas generalizadas de posición.

La simetría es importante para la química (en particular en la química orgánica) porque sustenta esencialmente todas las interacciones específicas entre moléculas en la naturaleza (es decir, a través de la interacción de moléculas quirales naturales y artificiales con sistemas biológicos inherentemente quirales). El control de la simetría de las moléculas producidas en la síntesis química moderna contribuye a la capacidad de los científicos para ofrecer intervenciones terapéuticas con efectos secundarios mínimos. Una comprensión rigurosa de la simetría explica las observaciones fundamentales en química cuántica y en las áreas aplicadas de espectroscopia y cristalografía. La teoría y aplicación de la simetría a estas áreas de la ciencia física se basa en gran medida en el área matemática de la teoría de grupos.[21]​ Además, el momento dipolar pueden predecirse o ser explicadas a partir de la simetría de la molécula.

Las simetrías que aparecen en química están asociadas a grupos finitos de isometrías, en concreto son grupos puntuales de transformaciones de isometría.

Simetría en biología es la equilibrada distribución en el cuerpo de los organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas. Los planes corporales de la mayoría de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetría, bien sea simetría radial o simetría bilateral. Una pequeña minoría no presenta ningún tipo de simetría (son asimétricos).

La simetría radial es la simetría definida por un eje heteropolar (distinto en sus dos extremos). El extremo que contiene la boca se llama lado oral, y su opuesto lado aboral o abactinal. Sobre este eje, se establecen planos principales de simetría; dos perpendiculares que definen las posiciones per-radiales. Las estructuras en otros planos (bisectrices de los per-radiales) quedan en posiciones inter-radiales. La zona entre los per-radiales y los inter-radiales es la zona ad-radial

La mayoría de especies animales tiene simetría bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y las estrellas de mar, que presentan simetría radial secundaria (las fases de desarrollo tempranas y las larvas poseen simetría bilateral que posteriormente se pierde en el adulto).

La simetría bilateral permite la definición de un eje corporal en la dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema nervioso centralizado y la cefalización...

Para un observador humano, algunos tipos de simetría son más sobresalientes que otros, en particular el más sobresaliente es un reflejo con un eje vertical, como el presente en el rostro humano. Ernst Mach hizo esta observación en su libro «El análisis de las sensaciones»,[22]​ y esto implica que la percepción de simetría no es una respuesta general a todo tipo de regularidades. Tanto los estudios conductuales como los neurofisiológicos han confirmado la sensibilidad especial a la simetría de reflexión en humanos y también en otros animales.[23]​ Los primeros estudios dentro de la tradición Gestalt sugirieron que la simetría bilateral era uno de los factores clave en la agrupación perceptiva. Esto se conoce como principio de simetría. El papel de la simetría en la agrupación y la organización figura / suelo ha sido confirmado en muchos estudios. Por ejemplo, la detección de la simetría de reflexión es más rápida cuando esta es una propiedad de un solo objeto.[24]​ Los estudios de percepción humana y psicofísica han demostrado que la detección de simetría es rápida, eficiente y robusta a las perturbaciones. Por ejemplo, la simetría se puede detectar con presentaciones entre 100 y 150 milisegundos.[25]

Estudios de neuroimagen más recientes han documentado qué regiones del cerebro están activas durante la percepción de la simetría. Sasaki y otros[26]​ utilizaron imágenes de resonancia magnética funcional (fMRI) para comparar las respuestas de patrones con puntos simétricos o aleatorios. Hubo una fuerte actividad en las regiones extraestriadas de la corteza occipital, pero no en la corteza visual primaria. Las regiones extraestriadas incluyeron V3A, V4, V7 y el complejo occipital lateral (LOC). Los estudios electrofisiológicos han encontrado una negatividad posterior tardía que se origina en las mismas áreas.[27]​ En general, una gran parte del sistema visual parece estar involucrado en el procesamiento de la simetría visual, y estas áreas involucran redes similares a las responsables de detectar y reconocer objetos.[28]

En música clásica, existen composiciones en las que podemos encontrar distribuciones de las notas generadas mediante simetría bilateral, traslación o giros de media vuelta. Algunos ejemplos de composiciones, son: el Preludio de Johann Sebastian Bach, la Sonata en Sol mayor de Domenico Scarlatti, Lotosblume de Robert Schumann, o Die Meistersinger de Richard Wagner.

La simetría también es una consideración importante en la formación de escalas y acordes, ya que la música tradicional o tonal está formada por grupos de tonos no simétricos, como la escala diatónica o el acorde mayor. Se dice que las escalas o acordes simétricos, como la escala de tonos enteros, el acorde aumentado o el acorde de séptima disminuida, carecen de dirección o sentido de movimiento hacia adelante, son ambiguas en cuanto a la tonalidad o el centro tonal, y tienen una funcionalidad diatónica menos específica. Sin embargo, compositores como Alban Berg, Béla Bartók y George Perle han utilizado ejes de simetría y/o ciclos de intervalo de forma análoga a las claves o centros tonales no tonales.[29]

Los ciclos de intervalo son simétricos y, por lo tanto, no diatónicos. Sin embargo, un segmento de siete tonos de Do5 (el ciclo de quintas, que son enarmónicos con el ciclo de cuartas) producirá la escala diatónica mayor. Las progresiones tonales cíclicas en las obras de compositores románticos como Gustav Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones tonales cíclicas en la música atonal de modernistas como Bartók, Alexander Scriabin, Edgard Varèse y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones señalan el final de la tonalidad.[29][30]

La primera composición extendida basada consistentemente en relaciones tonales simétricas fue probablemente el Cuarteto de Alban Berg, op. 3 (1910).[30]

En el contexto de la electrónica de radiofrecuencia, se habla de una alimentación simétrica de corriente alterna cuando ninguno de los conductores está a la masa. Cuando uno de los conductores está a la masa y el otro experimenta las variaciones de tensión, se dice que la alimentación es asimétrica.

Existen importantes aplicaciones tecnológicas basadas en la alimentación simétrica, ya que la alimentación simétrica tiene la gran ventaja de que la pérdida de potencia en la línea de transmisión es un orden de magnitud menor que la alimentación asimétrica por cable coaxial.

La alimentación simétrica es por lo tanto la alimentación preferida en la operación QRP y en el modo EME, modos donde cada dB de ganancia cuenta.

http://recursosbiblio.url.edu.gt/tesisjcem/2016/03/05/Letona-Diana-Investigacion.pdf

https://www.um.es/analesps/v17/v17_2/12-17_2.pdf


English Version / Versión en Inglés > Symmetry


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