Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros ${displaystyle a, extstyle { ext{y}}displaystyle ,b}$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural ${displaystyle m, eq ,0}$, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

que se expresa diciendo que: ${displaystyle a,}$ es congruente con ${displaystyle b,}$ módulo ${displaystyle m,}$. De donde se define que dos números ${displaystyle a, extstyle { ext{y}}displaystyle ,b}$ son congruentes en módulo ${displaystyle m, eq ,0}$ «» (sí y solo si) :

o lo que es lo mismo, ${displaystyle a, extstyle { ext{y}}displaystyle ,b}$ dejan el mismo resto en la división por ${displaystyle m,}$. Además, también se puede afirmar que:

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo ${displaystyle p,}$ y cada entero ${displaystyle a,}$ no divisible por ${displaystyle p,}$ tenemos la congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia ${displaystyle x^{2}-5equiv 0{pmod {11}}}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por ${displaystyle xequiv 4{pmod {11}}}$ y ${displaystyle xequiv 7{pmod {11}}}$, es decir ${displaystyle x,}$ puede ser cualquier entero de las sucesiones ${displaystyle 11k+4,}$ y ${displaystyle 11k+7,}$. Contrariamente la congruencia ${displaystyle x^{2}-2equiv 0{pmod {11}}}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

donde por definición ponemos ${displaystyle a/k=ak^{-1},}$.

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias