Consistentes

En metalógica, la consistencia o consistencia lógica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo (axiomas y reglas de inferencia), no es posible deducir una fórmula y su negación. La existencia de un modelo implica que una teoría lógica es consistente.

Generalizando, la consistencia es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no es posible deducir una contradicción del mismo. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo, no es posible demostrar una fórmula y su negación. Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógica p: ${displaystyle {mathcal {A}}vdash p}$ y ${displaystyle {mathcal {A}}vdash eg p}$ simultáneamente.

La consistencia de un conjunto de proposiciones ${displaystyle scriptstyle {mathcal {A}}}$ puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo ${displaystyle scriptstyle {mathcal {M}}}$:

${displaystyle vDash _{mathcal {M}}{mathcal {A}}}$

Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto.

Para evaluar si el conjunto es consistente según la definición semántica, podemos construir una tabla de verdad:

Como se ve, en ninguna de las interpretaciones (ninguna de las filas de la tabla) se da que todas las fórmulas son verdaderas. Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.

En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ￢A (i.e. la negación lógica de A) a partir del conjunto de fórmulas.^[1]​

Por ejemplo, considérese el siguiente conjunto de fórmulas de la lógica proposicional: ${displaystyle p,q,(q o eg q),r}$ . Utilizando la regla de inferencia del modus ponens entre ${displaystyle qland (q o eg q)}$ , es posible deducir ${displaystyle eg p}$. Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente.

Un sistema formal es consistente si y sólo si el conjunto de sus teoremas es consistente.^[1]​

Por los teoremas de la incompletitud de Gödel sabemos que ningún sistema formal que tenga un mínimo de poder expresivo puede ser a la vez consistente y completo.

Una demostración de consistencia, o prueba de consistencia, es una demostración formal de que un sistema formal es consistente. Un sistema formal es consistente si no contiene una contradicción, o, en forma más precisa, no existe una proposición tal que se puede demostrar o deducir simultáneamente la proposición y su negación.

Referido a un argumento, la consistencia es la necesidad de que todas las premisas tengan que ser necesariamente y a la vez, como producto, todas verdaderas, para que el argumento, si es consistente, pueda ser válido o no válido. Referido al discurso la consistencia tiene que ver con que las implicaciones lógicas del mismo no sean autocontradictorias.

El desarrollo inicial de la teoría de la demostración matemática fue motivado por el deseo de proveer demostraciones de coherencia finita para toda la matemáticas como parte del programa de Hilbert. El programa de Hilbert cumple con las observaciones de Gödel, tal como se expresa en sus dos teoremas de incompletitud de Gödel, de que las teorías de demostración robustas no son capaces de probar su propia consistencia.

A pesar de que es posible demostrar la consistencia mediante teoría de modelos, por lo general se realiza de una manera puramente sintáctica, sin la necesidad de proveer una referencia a algún modelo de la lógica. La eliminación de corte (o en forma equivalente la normalización del cálculo subyacente si es que existe uno) implica la consistencia del cálculo: dado que obviamente no existe prueba de falsedad que sea libre de corte, no existe por lo tanto contradicción en general.

Los principales resultados relacionados con la consistencia y completitud fueron demostrados por Kurt Gödel:

Mediante la aplicación de estas ideas, se pueden encontrar cuatro tipos distintos de teorías de primer orden:

En forma adicional, se ha descubierto recientemente que existe un quinto tipo de teoría, las teorías auto verificables, que son lo suficientemente robustas como para analizar su propia relación de demostración, pero son demasiado débiles como para realizar una diagonalización de Gödel, y que por lo tanto pueden demostrar en forma consistencia su propia consistencia. Sin embargo, una teoría que demuestra su propia consistencia no permite obtener ninguna información interesante, dado que las teorías inconsistentes también demuestran su propia consistencia.

Un conjunto de fórmulas ${displaystyle Phi }$ en lógica de primer orden es consistente (expresado como Con${displaystyle Phi }$) si y solo si no existe una fórmula ${displaystyle phi }$ tal que ${displaystyle Phi vdash phi }$ y ${displaystyle Phi vdash lnot phi }$. De lo contrario ${displaystyle Phi }$ es inconsistente y se expresa Inc${displaystyle Phi }$.

${displaystyle Phi }$ es simplemente consistente si y solo si para ninguna fórmula ${displaystyle phi }$ de ${displaystyle Phi }$ son tanto ${displaystyle phi }$ como la negación de ${displaystyle phi }$ teoremas de ${displaystyle Phi }$.

${displaystyle Phi }$ es absolutamente consistente si por lo menos una fórmula de ${displaystyle Phi }$ no es un teorema de ${displaystyle Phi }$.

${displaystyle Phi }$ es máximamente consistente si y solo si para toda fórmula ${displaystyle phi }$, si Con ${displaystyle Phi cup phi }$ entonces ${displaystyle phi in Phi }$.

${displaystyle Phi }$ se dice contiene testigos si y solo si para cada fórmula de la forma ${displaystyle exists xphi }$ existe un término ${displaystyle t}$ tal que ${displaystyle (exists xphi o phi {t over x})in Phi }$.

1. Los siguientes son equivalentes:

(a) Inc${displaystyle Phi }$

(b) Para todo ${displaystyle phi ,;Phi vdash phi .}$

2. Todo conjunto de fórmulas satisfactible es consistente, un conjunto de fórmulas ${displaystyle Phi }$ es satisfactible si y solo si existe un modelo ${displaystyle {mathfrak {I}}}$ tal que ${displaystyle {mathfrak {I}}vDash Phi }$.

3. Para todo ${displaystyle Phi }$ y ${displaystyle phi }$:

(a) si no ${displaystyle Phi vdash phi }$, entonces Con${displaystyle Phi cup {lnot phi }}$;

(b) si Con ${displaystyle Phi }$ y ${displaystyle Phi vdash phi }$, entonces Con${displaystyle Phi cup {phi }}$;

(c) si Con ${displaystyle Phi }$, entonces Con${displaystyle Phi cup {phi }}$ o Con${displaystyle Phi cup {lnot phi }}$.

4. Sea ${displaystyle Phi }$ un conjunto de fórmulas consistentes y que poseen testigos. Para todo ${displaystyle phi }$ y ${displaystyle psi }$:

(a) si ${displaystyle Phi vdash phi }$, entonces ${displaystyle phi in Phi }$,

(b) o bien ${displaystyle phi in Phi }$ o bien ${displaystyle lnot phi in Phi }$,

(c) ${displaystyle (phi lor psi )in Phi }$ si y solo si ${displaystyle phi in Phi }$ o ${displaystyle psi in Phi }$,

(d) si ${displaystyle (phi o psi )in Phi }$ y ${displaystyle phi in Phi }$, entonces ${displaystyle psi in Phi }$,

(e) ${displaystyle exists xphi in Phi }$ si y solo si existe un término ${displaystyle t}$ tal que ${displaystyle phi {t over x}in Phi }$.

Sea ${displaystyle Phi }$ un conjunto de fórmulas máximamente consistentes testigos.

Define una relación binaria en el conjunto de términos S ${displaystyle t_{0}sim t_{1}!}$ si y solo si ${displaystyle ;t_{0}=t_{1}in Phi }$; y sea ${displaystyle {overline {t}}!}$ la clase de términos de equivalencia conteniendo ${displaystyle t!}$; y sea ${displaystyle T_{Phi }:={;{overline {t}};|;tin T^{S}}}$ donde ${displaystyle T^{S}!}$ es el conjunto de términos basados en el conjunto de símbolo ${displaystyle S!}$.

Define la estructura S ${displaystyle {mathfrak {T}}_{Phi }}$ sobre ${displaystyle T_{Phi }!}$ el término-estructura correspondiente a ${displaystyle Phi }$ mediante:

(1) Para el ${displaystyle n}$-ésimo ${displaystyle Rin S}$, ${displaystyle R^{{mathfrak {T}}_{Phi }}{overline {t_{0}}}ldots {overline {t_{n-1}}}}$ si y solo si ${displaystyle ;Rt_{0}ldots t_{n-1}in Phi }$,

(2) Para el ${displaystyle n}$-ésimo ${displaystyle fin S}$, ${displaystyle f^{{mathfrak {T}}_{Phi }}({overline {t_{0}}}ldots {overline {t_{n-1}}}):={overline {ft_{0}ldots t_{n-1}}}}$,

(3) Para ${displaystyle cin S}$, ${displaystyle c^{{mathfrak {T}}_{Phi }}:={overline {c}}}$.

Sea ${displaystyle {mathfrak {I}}_{Phi }:=({mathfrak {T}}_{Phi },eta _{Phi })}$ el término-interpretación han asociado con ${displaystyle Phi }$, donde ${displaystyle eta _{Phi }(x):={ar {x}}}$.

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