Constantes lógicas

En lógica, una constante lógica es una expresión que cuya presencia y posición determina la forma lógica de una proposición,^[1]​ y por extensión la validez o invalidez de los argumentos.^[1]​

Dentro de un lenguaje formal con una semántica formal, una constante lógica es una expresión cuyo significado no varía con cada interpretación.

Considérese el siguiente argumento:

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Aunque ridículo, este argumento continúa siendo válido: si las premisas fueran verdaderas, entonces la conclusión también lo sería. De modo que la validez no dependía de las expresiones «es de día» y «es de noche». En cambio, parece que depende de la presencia y posición de las expresiones «o» y «no». Si se quita o se cambia alguna de ellas, el argumento puede dejar de ser válido. Por ejemplo:

De modo que la validez del argumento dependía de la presencia y posición de las expresiones «o» y «no». Esto las califica como constantes lógicas. Consideremos ahora algunos otros argumentos:

Aunque aburridos, estos ejemplos revelan que además de las expresiones «o» y «no», la validez de algunos argumentos puede depender de las expresiones «si... entonces», «ni» e «y». A estas y otras pocas expresiones se las conoce como conectivas lógicas (porque conectan oraciones, como «está lloviendo» y «hace frío»). Las conectivas lógicas explican la validez de una gran variedad de argumentos, y su estudio corresponde a la lógica proposicional.

Considérese ahora el siguiente argumento:

Intuitivamente, este argumento resulta válido: si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también debe serlo. Como antes, se puede pensar que su validez se debe a las expresiones como «hombres», «matemáticos» y «racionales», pero si se las reemplaza por otras, el argumento siempre permanece válido:

De modo que la validez del argumento no depende de estas expresiones. En cambio, parece que depende de las expresiones «todos» y «algunos». Si se quita o cambia alguna de éstas, el argumento puede dejar de ser válido. Por ejemplo:

Esto significa que las expresiones «todos» y «algunos» tienen las características que las califican como constantes lógicas. A estas y unas pocas expresiones más se las llama cuantificadores (porque indican la cantidad de entidades con una determinada propiedad). El estudio de esta clase de constantes lógicas le corresponde a la lógica de predicados.

Los operadores modales son constantes lógicas que se caracterizan por calificar el valor de verdad de las proposiciones. Por ejemplo, considérese la proposición "Ana siempre está cansada". En esta proposición, la expresión "siempre" califica la verdad de la proposición más simple "Ana está cansada", como una verdad que se sostiene en todo momento. La expresión "siempre" es por lo tanto un operador modal. Considérese ahora el siguiente argumento:

La validez de este argumento depende no sólo de la conectiva "si... entonces", sino también del significado de las constantes lógicas "siempre" y "nunca". Como se muestra a continuación, el ejemplo de Ana puede cambiarse por otro, y el argumento aún permanecer válido:

Pero si se cambian el orden de las expresiones "siempre" y "nunca", el argumento deja de ser válido:

Este argumento no es válido porque la primera premisa no dice que cuando no llueve, voy al cine, sino que cuando llueve, no voy al cine. Por lo tanto, el que nunca llueva no implica que siempre vaya al cine. El error es semejante al de la falacia de afirmación del consecuente.

Esto parece mostrar que los operadores modales "siempre" y "nunca" son constantes lógicas, y como ellos existen muchos otros. Los distintos tipos de operadores modales se agrupan por similitudes y cada grupo es estudiado por una lógica modal diferente. Por ejemplo, los operadores modales "siempre" y "nunca" se agrupan juntos porque califican el valor de verdad de las proposiciones en relación al tiempo (verdaderas en todo momento o en ningún momento, respectivamente), y ambos son estudiados por la lógica temporal. A continuación hay una tabla con algunos operadores modales importantes y las lógicas que los estudian:

Aunque los ejemplos de constantes lógicas mencionados en la sección anterior despiertan poca controversia (especialmente las conectivas y los cuantificadores),^[1]​ existen otros casos en donde no está tan claro si una expresión debe ser considerada una constante lógica o no.^[1]​ Por ejemplo, existe debate sobre si la relación de identidad, la relación de pertenencia en la teoría de conjuntos, o el predicado de verdad deben ser considerados constantes lógicas.^[1]​ Para resolver estas cuestiones, se han propuesto varios criterios para decidir cuándo una expresión es una constante lógica y cuándo no.^[1]​

En los siglos XIII y XIV, lógicos medievales como Guillermo de Shyreswood y Alberto de Sajonia trabajaron las nociones de categorema y sincategorema, que originalmente habían sido introducidas por los estóicos.^[2]​ Los categoremas eran términos caracterizados por tener un objeto como su significado, como «Pedro» y «rojo», mientras que los sincategoremas eran términos caracterizados por no tener un objeto como su significado, como «no», «o», «y», «algunos» y «todos».^[2]​ Los lógicos medievales reconocieron que al agregar o intercambiar sincategoremas en una oración, se la modifica lógicamente.^[2]​ Así resulta claro que la noción de sincategorema fue un antecedente a la noción moderna de constante lógica.^[2]​

La palabra sincategorema viene del latín medieval syncategorema, y este del griego συνκατηγορημα, habiéndose entonces usado por error el prefijo griego συν, que significa 'junto' o 'unión', como si fuera sinónimo del latino sine, que significa 'sin'. Originalmente, por lo tanto, sincategorema significaba algo así como 'unión de categoremas'.

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