Cuadrado (aritmética)

Un número cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, es un número cuya raíz cuadrada es un número natural.

Un número es un cuadrado perfecto si se puede ordenar en una figura cuadrada. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3, y se puede ordenar del siguiente modo:

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados.

En álgebra, el cuadrado de un número n se expresa como n², y equivale a n × n. La operación algebraica de elevar al cuadrado un número n nos proporciona el área de un cuadrado geométrico cuyo lado mide n. Por esta razón, tal operación se conoce como elevar al cuadrado.^[1]​

Un número natural n elevado al cuadrado se puede linealizar por medio de la siguiente expresión:

Así, por ejemplo:

Con el mismo resultado que la multiplicación:

La fórmula general para el n-ésimo número cuadrado es n². Esta expresión es igual a la suma de los n primeros números impares, demostrable por inducción matemática, registrada en la siguiente fórmula:

Un cuadrado par se puede expresar como la suma de dos impares consecutivos. Pues si cumple la condición cabe ${displaystyle P=4n^{2}}$ y se plantea la ecuación:

Un número primo de la forma ${displaystyle 4k+1}$ se puede expresar como la suma de dos cuadrados:

Los babilonios usaban tablas de cuadrados para la multiplicación^[2]​ aplicando la fórmula:

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4^k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.

Según el último dígito del número n cuyo cuadrado se quiere calcular se puede comprobar que dicho cuadrado tendrá las siguientes propiedades:

Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, se puede proceder a demostrar las propiedades enumeradas más arriba:

La cantidad de factores (divisores) de un número cuadrado perfecto es siempre impar. O dicho de otro modo, se cumple que para todo número natural que no es cuadrado perfecto, la cantidad de sus factores es un número par.

Todo número natural se puede descomponer en factores primos y sus correspondientes exponentes: ${displaystyle N=p_{1}^{a}.p_{2}^{b}.p_{3}^{c}...}$ ,

donde N es un número natural, ${displaystyle p_{1},p_{2},...}$ son números primos y a,b,c... sus correspondientes exponentes. Dado que todos los posibles divisores de N son una combinación de este producto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b y c=0,1,2,...c, la cantidad de divisores de N es:

n = (a+1).(b+1).(c+1)... donde n es la cantidad de factores o divisores de cualquier número natural.

Puesto que en un número cuadrado perfecto los exponentes a, b, c, ... son números pares, todos los factores de n serán impares y por tanto el producto también es un número impar. Esto puede comprobarse revisando el Anexo:Tabla de divisores

Los primeros 50 cuadrados perfectos son:

Puede calcularse un cuadrado a partir del anterior o del anterior cuadrado par/impar respecto de uno dado.

Ejemplos:

Otra manera de calcular la distancia es teniendo en cuenta la siguiente propiedad: La diferencia entre cada número cuadrado y el consecutivo(si se comienza con el 0) son todos los números impares, en orden ascendente:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

Ejemplos:

Ambos casos resultan de interés con números muy grandes, para hallar en bucles el siguiente cuadrado o el siguiente cuadrado de lado par/impar, especialmente en computación donde las sumas son mucho menos costosas que las multiplicaciones y las multiplicaciones por potencias de 2 pueden ser realizadas con instrucciones de desplazamiento de bits. A su vez las multiplicaciones ('2 * x' o por '4 * x' según el caso), dentro de un bucle puede mantenerse como una suma si se guarda el valor previo de suma. Fíjese como en ambos casos a la derecha del todo, el siguiente cuadrado, para ambos casos se resuelven con sumas.

La operación a la inversa es fácilmente deducible, es decir hallar el cuadrado anterior a otro dado.

El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (${displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}$). Por ejemplo, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 4² es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Es más fácil así:157²=150² + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. Es el primer sumando y los demás son más fácil de encontrar,303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos números triangulares consecutivos. La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado.

El cuadrado de un número par siempre es par (de hecho es divisible por 4), ya que (2n)² = 4n².

El cuadrado de un número impar siempre es impar, ya que (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

De esto se sigue que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto par siempre es par, y la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto impar siempre es impar. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (véase raíz cuadrada de 2).

Para los primeros cinco cuadrados perfectos

Generalizando para los primeros n cuadrados perfectos resulta la suma

^[3]​

.

Ejemplo: 52·54 + 1 = 2809, cuadrado de 53.^[4]​

Por ejemplo, 95·97 + 1 = 9216. En los dos casos hallamos el cuadrado de la media aritmética de los factores.

^[5]​ Por ejemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cuadrado de 209.

Por ejemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Luego 21·35 + 49 = 784, cuadrado de 28.^[6]​

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