Teorema fundamental de la aritmética

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos. Por ejemplo,

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en términos de números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.

Todo entero positivo n > 1 puede ser representado exactamente de una única manera como un producto de potencias de números primos:

donde p₁ < p₂ < … < p_k son primos y α_i son enteros positivos.

Esta representación se llama representación canónica^[3]​ de n, o forma estándar^[4]​^[5]​ de n.

Nótese que los factores p⁰ = 1 pueden ser insertados sin cambiar el valor de n (p. ej., 1000 = 2³×3⁰×5³). En efecto, cualquier número positivo puede ser representado únicamente como un producto infinito tomado sobre todo el conjunto de los números primos,

donde un número finito de α_p son enteros positivos, y el resto son cero. Permitiendo exponentes negativos se proporciona una forma canónica para los números racionales.

El teorema establece la importancia de los números primos. Estos son los «ladrillos básicos» con los que se «construyen» los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.

Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma: ${displaystyle 2^{a}cdot 3^{b}cdot {17}^{c}}$, donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene un total de ${displaystyle 4cdot 2cdot 3=24}$ divisores positivos

Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su máximo común divisor es 2³ · 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.

El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.

Cualquier número entero n mayor que 1 puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de números primos.

El teorema fue prácticamente demostrado por primera vez por Euclides (es la Proposición 14 del libro 9 de sus Elementos), aunque la primera demostración completa apareció en las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.

Aunque a primera vista el teorema parezca «obvio», no vale en sistemas numéricos más generales, entre estos muchos anillos de enteros algebraicos. Ernst Kummer fue el primero en notar esto en 1843, en su trabajo sobre el último teorema de Fermat. El reconocimiento de este fallo es uno de los primeros avances de la teoría de números algebraicos.

La demostración se hace en dos pasos. En el primer paso, se demuestra que todo número es un producto de números primos (incluido el producto vacío). En el segundo paso, se demuestra que ambas representaciones son iguales.

Supóngase que existe algún entero positivo que no puede representarse como producto de primos. Entonces debe haber un mínimo número n con esa propiedad. Este número n no puede ser 1, por la convención anterior. Tampoco puede ser un primo, porque todo primo es el producto de un único número primo: él mismo.

Dado que no es primo, por definición hay un número distinto a sí mismo y distinto a 1 que lo divide. Llamemos a ese número a, por definición de divisibilidad existe b tal que n = ab.

Así pues, n = ab, donde a y b son enteros positivos menores que n. Como n es el mínimo entero positivo para el que falla el teorema, tanto a como b pueden escribirse como producto de primos. Pero entonces n = ab también puede escribirse como producto de primos, lo que es contradictorio.

La demostración de la unicidad se apoya en el siguiente hecho: si un número primo p divide a un producto ab, entonces divide a a o divide a b (lema de Euclides). Para demostrar este lema, si se supone que p no divide a a, entonces p y a son primos entre sí y por la identidad de Bézout existen x e y enteros tales que px + ay = 1. Multiplicando por b se obtiene pbx + aby = b, y puesto que los dos sumandos del lado izquierdo son divisibles por p, el término de la derecha también es divisible por p.

Dados dos productos de primos que tengan igual resultado, tómese un primo p del primer producto. Divide al primer producto, y por lo tanto también al segundo. Por el hecho anterior, p debe dividir al menos a un factor del segundo producto; pero los factores son todos primos, así que p debe ser igual a uno de los factores del segundo producto. Se puede entonces cancelar a p de ambos productos. Siguiendo de esta forma se cancelarán todos los factores de ambos productos, con lo cual éstos deben coincidir exactamente.

Otra prueba de la unicidad de las factorizaciones en primos de un entero dado utiliza el método del descenso infinito.

Supóngase que cierto número entero se puede escribir como producto de factores primos de (al menos) dos maneras distintas. Entonces, debe existir un mínimo entero s con esa propiedad. Sean p₁·…·p_m y q₁·…·q_n dos factorizaciones distintas de s. Ningún p_i (con 1 ≤ i ≤ m) puede ser igual a algún q_j (con 1 ≤ j ≤ n), pues de lo contrario habría un número menor que s que se podría factorizar de dos maneras (obtenido al quitar factores comunes a ambos productos) contradiciendo la suposición anterior. Se puede entonces suponer sin pérdida de generalidad que p₁ es un factor primo menor que todos los q_j (con 1 ≤ j ≤ n). Considérese en particular q₁. Entonces existen enteros d y r tales que

y 0 < r < p₁ < q₁ (r no puede ser 0, puesto que en tal caso q₁ sería un múltiplo de p₁ y por lo tanto compuesto). Al multiplicar ambos lados por s / q₁, resulta

El segundo término de la última expresión debe ser igual a un entero (pues lo son también los otros términos), al que se llamará k; esto es,

de donde se obtiene,

El valor de los dos lados de esta ecuación es obviamente menor que s, pero sigue siendo lo bastante grande como para ser factorizable. Como r es menor que p₁, las dos factorizaciones obtenidas en ambos lados después de haber escrito k y r como producto de primos deben ser diferentes. Esto contradice la suposición de que s es el entero más pequeño que se puede factorizar en más de una forma. Por tanto, la suposición inicial debe ser falsa.

Sea n un entero. Z_n es un grupo finito, por lo que tiene una serie de composición. Por definición, los factores en una serie de composición son simples; por lo tanto, en la serie de Z_n éstos deben ser de la forma Z_p para algún primo p. Como el orden de Z_n es el producto de los órdenes de los factores de su serie de composición, esto da una factorización de n en números primos. Pero el teorema de Jordan-Hölder afirma que una serie de composición es única, y por lo tanto la factorización de n debe ser única.

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