Cubo (geometría)

Cubo o hexaedro regular es un poliedro limitado por seis caras cuadradas congruentes. Es uno de los denominados sólidos platónicos.

Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectangular, (brevemente ortoedro ^[1]​ ) pues todas sus caras son cuadrados y paralelos dos a dos. Incluso , se puede entender como un prisma recto, cuya base es un cuadrado y su altura equivalente al lado de la base.

El hexaedro regular, al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de Euler para poliedros, resumida en la fórmula C+V = A+2, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (6+8=12+2).

Dado un cubo de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Y el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, A_c), mediante:

Considerado como prisma tiene área lateral:

Se verifica la ecuación d²= 3a². De donde

Entre los ortoedros de área total constante el cubo es el que tiene mayor volumen. Si se conoce el área total = k, entonces la arista del cubo es a = (k÷6)^{0.5 [3]}​

Un hexaedro regular (o cubo) tiene 3 ejes de simetría de orden cuatro: las rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio; cuatro ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen los centros de los vértices opuestos;6 ejes de simetría de orden 2 que unen los centros de las aristas opuestos; nueve planos de simetría; tres paralelos a cada par de caras paralelas por el punto medio de las aristas que las unen, y seis formados por los pares de aristas opuestas; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 48: 2x(3x4+6x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría octaédricos de segunda base, el denominado O_h según la notación de Schöenflies.

En cualquier cubo se puede inscribir una esfera, cuyo centro coincide con el del cubo y su radio es igual a la mitad de la arista del cubo.

Cualquier cubo puede inscribirse en una esfera, de modo que los centros de los sólidos sean el mismo punto. En este caso a la esfera se nombra esfera circunscrita al cubo.

En un cubo se puede inscribir un octaedro regular cuyos cuatro vértices están en cuatro caras consecutivas y los otros dos en caras opuestas y perpendiculares a las anteriores.

En principio, un cubo es un sólido convexo; esto significa que respecto a un plano que contiene a cualquiera de sus caras el cubo queda en un uno solo de los semiespacios que determina dicho plano. O de otra forma, es posible trazar un plano que no contenga punto alguno del cubo por la convexidad.

Tomemos tres sendos puntos en tres aristas perpendiculares a una de las caras y tracemos un plano por estos puntos. Dicho plano al intersecar al cubo determina un cuadrilátero. Cualquier punto del cuadrilátero se llama punto interior del cubo y el conjunto de todos los puntos interiores se denomina Interior del cubo. ^[5]​

Ningún punto de cara cualquiera está en el interior del cubo, y todos estos puntos forma un conjunto llamado frontera, de tal manera que la unión de las seis caras son la frontera del cubo.

Un punto que no está en la frontera ni en el interior del cubo se llama punto exterior y el conjunto de todos estos puntos es el exterior del cubo. La unión del interior, exterior y frontera del cubo es igual a todo el espacio. Además estos conjuntos son disjuntos.

Un conjunto de puntos del espacio se llama abierto si para cualquier punto de él se puede trazar una esfera de tal manera que la esfera quede contenida totalmente en dicho conjunto. Tanto el interior y el exterior de un cubo son abiertos. ^[6]​

El cubo es una figura conexa, esto es, de una sola pieza. Pues no puede haber dos abiertos de intersección vacía y su unión sea igual al cubo.

El cubo en un espacio de cuatro dimensiones se denomina hipercubo o bien teseracto.

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