Curva deltoide
En geometría, una deltoide, también conocida como tricuspídea o curva de Steiner, es una hipocicloide de tres cúspides. En otras palabras, es la ruleta creada por un punto del contorno de una circunferencia mientras rueda sin deslizar en el interior de un círculo con tres veces o una vez y media su radio. Su nombre se debe a su parecido con la letra griega delta.
De manera más general, una deltoide puede referirse a cualquier figura cerrada con tres vértices conectados por curvas que son cóncavas con respecto al exterior, lo que hace que los puntos interiores sean un conjunto no convexo.
Una deltoide puede representarse (generalizable por rotación y traslación) mediante las siguientes ecuaciones paramétricas
donde a es el radio del círculo que rueda, y b es el radio del círculo dentro del que gira el círculo anterior. (En la ilustración de arriba b = 3a).
En coordenadas complejas, esto se convierte en
La variable t se puede eliminar de estas ecuaciones para dar la ecuación cartesiana
entonces la deltoide es una curva algebraica plana de grado cuatro. En coordenadas polares esto se convierte en
La curva tiene tres singularidades, cúspides correspondientes a . La parametrización anterior implica que la curva es racional, lo que implica que tiene género cero.
Un segmento de línea puede deslizarse con sus dos extremos sobre una deltoide y permanecer tangente a ella. El punto de tangencia recorre la curva dos veces, mientras que cada extremo del segmento pasa sobre la deltoide una sola vez.
La curva dual de la deltoide es
que tiene un punto doble en el origen que puede representarse mediante una rotación imaginaria y ↦ iy, dando la curva
con un punto doble en el origen del plano real.
El área de la deltoide es donde nuevamente a es el radio del círculo rodante; por lo tanto, el área de la deltoide duplica a la del círculo rodante.
El perímetro (longitud total del arco) de la deltoide es 16 a.
Las cicloides ordinarias fueron estudiadas por Galileo Galilei y Marin Mersenne ya en 1599, pero las curvas cicloidales fueron concebidas por primera vez por Ole Rømer en 1674, mientras estudiaba la mejor forma para los dientes de los engranajes. Leonhard Euler efectuó en 1745 la primera consideración sobre la deltoide tal como hoy se conoce en relación con un problema óptico.
La deltoide aparece en varios campos de las matemáticas. Por ejemplo: