Cicloide
En matemática, particularmente en cálculo diferencial, se da el nombre de cicloide a la curva descrita por un punto de la circunferencia, cuando esta rueda recorre sin resbalar sobre una recta.
La cicloide ha sido llamada «La Helena de los geómetras» ya que causó frecuentes disputas entre matemáticos del siglo XVII.
Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos como descubridores de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo del filósofo sirio Jámblico como evidencia de que la curva era probablemente conocida en la antigüedad. Por su parte, en 1679 el matemático inglés John Wallis atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa, pero los eruditos posteriores indicaron que o bien Wallis estaba equivocado o bien las pruebas utilizadas por Wallis habían desaparecido. El nombre de Galileo Galilei fue presentado al final del siglo XIX y al menos un autor da el crédito a Marin Mersenne (monje, antiguo amigo de Descartes). A partir de la obra de Moritz Cantor y de Siegmund Günther, los estudiosos dan ahora prioridad al matemático francés Charles de Bovelles basándose en su descripción de la cicloide en su Introductio in geometriam, publicado en 1503. En esta obra, Bovelles identifica erróneamente el arco trazado por una rueda de rodadura como parte de un círculo mayor con un radio un 120 % más grande que la rueda más pequeña.
Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio riguroso de la curva. Según su discípulo Evangelista Torricelli, en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (construcción de un cuadrado con un área igual al área bajo la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que involucraba el trazado tanto del círculo generador como de la cicloide resultante sobre una hoja de metal, para luego cortarlos y pesarlos. Descubrió que la relación era de aproximadamente 3:1, pero de forma incorrecta concluyó que la relación era una fracción irracional, lo que hacía imposible la cuadratura. Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente supo del problema de la cuadratura por Mersenne y lo resolvió en 1634 mediante el uso del teorema de Cavalieri. Sin embargo, este trabajo no fue publicado hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles).
La construcción de la tangente de la cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió los métodos propios de Roberval, Pierre de Fermat y Descartes. Mersenne envió estos resultados a Galileo, quien a su vez se los dio a sus estudiantes Torricelli y Viviani, que fueron capaces de producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644, en la primera obra impresa sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, acabando la controversia por la muerte temprana de Torricelli en 1647.
En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.
En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistócrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli. La cicloide se emplea para resolver el problema de la tautócrona (descubierto por Christian Huygens), en el que si se desprecia el rozamiento y si se invirtiese una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, esta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.
Entre los autores de demostraciones acerca de sus propiedades se encuentra el matemático René Descartes que obtuvo mediante razonamientos efectivos y elegantes la fórmula de la recta tangente en un punto cualquiera del arco de la cicloide, empleando técnicas que después desarrollaría como la ciencia de la geometría diferencial.
Como ya se ha señalado, debido a las continuas disputas entre los matemáticos del siglo XVII la cicloide ha sido denominada "La Helena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan que esta denominación poética podría hacer referencia a las bellas propiedades de esta curva, que atrajeron a los matemáticos de la época. En el año 1658 Blaise Pascal lanzó un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar, ya sea en torno al eje de las abscisas, o en torno al eje de las ordenadas, o bien, en torno al eje de simetría del arco de cicloide. Fueron muchos los esfuerzos realizados en el siglo XVII para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que posteriormente han permitido desarrollar un gran número de aplicaciones industriales.
Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio r que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:
donde es un parámetro real, correspondiente al ángulo girado por el círculo rodante. Para un dado, el centro del círculo está en , . Siendo la variable función de la variable , esta cicloide tiene un período de , y una altura de .
Si se despeja la variable en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:
donde el único parámetro de forma es el radio de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable en el intervalo [, ], y proporciona solo la mitad del primer bucle de la cicloide.
Si se desea emplear el n-ésimo semi-bucle de la cicloide, se puede utilizar la siguiente ecuación:
La ecuación en forma intrínseca es:
donde representa su radio de curvatura en cada punto, y la correspondiente longitud de arco desde el origen.
A continuación se enuncian cinco teoremas referidos a los elementos de la cicloide:
El ángulo entre la tangente a la cicloide, en cualquier punto de ella, y la recta directriz es igual al ángulo complementario de la mitad del ángulo de giro del radio del círculo generador.
El ángulo entre la normal a la cicloide (en cualquiera de sus puntos) y la recta directriz es igual a la mitad del «ángulo principal».
La tangente a la cicloide pasa por el punto «superior» del círculo generador.
El seno del ángulo formado por la tangente a la cicloide en el punto y la vertical , es proporcional a la raíz cuadrada de la «altura» del punto .
Sean la recta y un punto . La única curva que satisface las condiciones de la proposición ángulo tangente-vertical, y pasa por el punto es la cicloide.
La evoluta de la cicloide tiene la propiedad de ser exactamente la misma cicloide de la que proviene. Esto es, el extremo de un hilo tenso que inicialmente descansa sobre medio arco de una cicloide, una vez desenvuelto describe un arco de cicloide igual al que estaba adosado.
Hay varias formas de demostrar esta afirmación. La que se presenta aquí utiliza la definición física de cicloide y la propiedad cinemática de que la velocidad instantánea de un punto es tangente a su trayectoria. En referencia a la imagen de la derecha, y son dos puntos tangentes que pertenecen a dos círculos rodantes. Los dos círculos comienzan a rodar con la misma velocidad y en la misma dirección sin deslizar. y comienzan a dibujar dos arcos de cicloide como en la imagen. Considerando la línea que conecta y en un instante arbitrario (línea roja), es posible demostrar que "la línea es en cualquier momento tangente en al arco inferior y ortogonal a la tangente en del arco superior". Según esto:
Para una cicloide común, se tiene que:
Estas fórmulas se demuestran a continuación.
La longitud del arco S de una cicloide viene dada por
Otra forma inmediata de calcular la longitud de la cicloide dadas las propiedades de su evoluta es considerar que cuando un cable que describe una evoluta ha sido completamente desenrollado, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4r. Debido a que el cable no cambia de longitud mientras se desprende, se deduce que la longitud de medio arco de cicloide es 4r y un arco completo es 8r.
Un arco de una cicloide generado por un círculo de radio r puede ser parametrizado por
con
Entonces
El área bajo el arco es
Este resultado, y algunas generalizaciones, pueden obtenerse sin cálculos mediante el cálculo visual de Mamikon.
El baricentro de la figura encerrada entre el primer arco de una cicloide y el eje , tiene una abscisa igual a . La ordenada del centro de gravedad se puede calcular con la fórmula:
que puede reescribirse en la forma:
La integral del denominador devuelve el área definida en el punto anterior. Al realizar los cálculos, se tiene que .
La figura subtendida por el primer arco de la cicloide tiene así su centro de gravedad en .
La curvatura de la cicloide es función de la cosecante de la mitad del ángulo girado :
Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:
siendo a el radio de la circunferencia, y b la distancia desde el centro de la circunferencia al punto P.
Varias curvas están relacionadas con la cicloide.
Todas estas curvas son ruletas, con un círculo envolviendo una trayectoria de curvatura uniforme. Las cicloides, epicicloides e hipocicloides tienen la propiedad de que cada una es semejante a su evoluta. Si q es el producto de esa curvatura por el radio del círculo, con signo positivo para epi- y negativo para hipo-, entonces la curva evoluta homotética es 1 + 2q.
La cicloide es una curva braquistócrona en el sentido de Roberval, es decir, que representa la curva en la que debe deslizarse sin fricción y sin velocidad inicial un punto material pesado, colocado en un campo gravitatorio uniforme, de manera que su tiempo de recorrido es el mínimo de entre todas las curvas que unen dos puntos fijos dados. En otras palabras, es la curva de descenso más rápida para conectar dos puntos dados.
El semiarco de una cicloide es también una curva tautócrona, es decir, una curva tal que cualquier punto material dejado caer sin velocidad inicial en la curva llega a un punto dado (el que tiene la menor altura de la cicloide) en un tiempo independiente del punto de partida.
Finalmente, es una curva isócrona en el sentido de Huygens, es decir, tal que un punto material que se mueve sin fricción tiene un movimiento periódico cuyo período es independiente de la posición inicial. Si se suspende un péndulo simple de la cúspide de una cicloide invertida, tal que la "cuerda" esté limitada entre los arcos adyacentes de la cicloide, y la longitud del péndulo es igual a la mitad de la longitud del arco de la cicloide, es decir, dos veces el diámetro del círculo generador, la oscilación del péndulo también traza una cicloide. Tal péndulo cicloidal es isócrono, independientemente de la amplitud de su movimiento. La ecuación del movimiento viene dada por:
El matemático neerlandés del siglo XVII Christiaan Huygens descubrió y probó estas propiedades de la cicloide mientras buscaba diseños de reloj de péndulo más precisos para su uso en navegación.
Estas dos últimas propiedades explican su uso en el diseño de péndulos cicloidales en relojería.
La trayectoria de una partícula sin velocidad inicial sometida a un campo eléctrico y a un campo magnético ortogonal uniforme es una cicloide ortogonal al campo magnético.
Las propiedades especiales de la curva cáustica hacen que la cicloide también se use en óptica.
El arco de cicloide fue utilizado por el arquitecto Louis Isadore Kahn en su diseño para el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth. También se usó en el diseño del Hopkins Center en Hanover (Nuevo Hampshire).
En el diseño de los dientes de los engranajes se han empleado tradicionalmente curvas cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630) hasta principios del siglo XX. En la actualidad solo se utilizan en mecanismos de relojería, puesto que generalmente se prefiere la evolvente del círculo. En física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.[cita requerida]
Algunas investigaciones realizadas indican que algunas curvas transversales de las planchas de las cajas de la edad de oro de la construcción de violines, están modeladas siguiendo curvas coherentes a cicloides. Trabajos posteriores indican que las cicloides curtatas no sirven como modelos generales para estas curvas, que varían considerablemente.
Un uso práctico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronáutica, pues se requería una forma apropiada de salir deslizándose desde un avión en caso de emergencia.[cita requerida]
Un juguete clásico, el espirógrafo, permite trazar curvas hipotrocoides y epitrocoides. Consiste en una serie de círculos dentados con una serie de orificios, que pueden hacerse rodar sobre el interior de unos círculos huecos (también dentados) practicados en una plantilla. Introduciendo la punta de un útil de dibujo por uno de estos orificios y haciendo rodar el círculo dentado, se obtienen distintos patrones festoneados de cicloide.