Derivada débil

En matemáticas, la derivada débil es una generalización del concepto de derivada de una función que se asume como no diferenciable, pero sí integrable, es decir, residen en un espacio L^p ${displaystyle mathrm {L} ^{1}([a,b])}$. Véase distribución para una definición aún más generalizada.

Sea ${displaystyle u}$ una función en un espacio de Lebesgue ${displaystyle L^{1}([a,b])}$. Decimos que ${displaystyle v}$ en ${displaystyle L^{1}([a,b])}$ es una derivada débil de ${displaystyle u}$ si y sólo si:

para cualquier ${displaystyle varphi }$ en ${displaystyle mathbb {C} _{0}^{infty }([a,b])}$. Esta definición está motivada por la técnica de integración por partes.

Generalizando a ${displaystyle n}$ dimensiones, si ${displaystyle u}$ y ${displaystyle v}$ se encuentran en el espacio ${displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$ de funciones localmente integrables para algunos conjuntos abiertos ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}}$, y si ${displaystyle alpha }$ es un multiíndice, decimos que ${displaystyle v}$ es el ${displaystyle alpha }$-ésima derivada débil de ${displaystyle u}$ si y sólo si:

para cualquier ${displaystyle varphi }$ en ${displaystyle mathbb {C} _{C}^{infty }(U)}$, es decir, para cualquier función infinitamente diferenciable ${displaystyle varphi }$ con soporte compacto en ${displaystyle U}$. Si ${displaystyle u}$ tiene derivada débil, a menudo escrita como ${displaystyle D^{alpha }u}$, ya que la derivada débil es única (por lo menos, en un conjunto de medida cero).

Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sóbolev, que son útiles para los problemas de ecuaciones diferenciales y en el análisis funcional.

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