Función localmente integrable

En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Más formalmente, sea ${displaystyle scriptstyle Omega }$ un conjunto abierto del espacio euclídeo ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ y sea ${displaystyle scriptstyle f:Omega o mathbb {C} }$ una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:

${displaystyle int _{B}|f|dx,}$

es finita para todo conjunto acotado ${displaystyle Bsubset Omega }$, con ${displaystyle {overline {B}}subseteq Omega }$, entonces ${displaystyle f}$ es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

${displaystyle L_{loc}^{1}(Omega )}$

Teorema. Toda función ${displaystyle scriptstyle f}$ del espacio ${displaystyle L^{p}(Omega )}$, ${displaystyle scriptstyle 1leq pleq +infty }$, donde ${displaystyle Omega }$ es un conjunto abierto de ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica ${displaystyle scriptstyle chi _{K}}$ de un conjunto compacto${displaystyle scriptstyle K}$ de ${displaystyle Omega }$: entonces, para ${displaystyle scriptstyle pleq +infty }$

${displaystyle left|{int _{Omega }|chi _{K}|^{q}dx} ight|^{1/q}=left|{int _{K}dx} ight|^{1/q}=|mu (K)|^{1/q}<+infty }$

donde

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

${displaystyle {int _{K}|f|dx}={int _{Omega }|fchi _{K}|dx}leq left|{int _{Omega }|f|^{p}dx} ight|^{1/p}left|{int _{K}dx} ight|^{1/q}=|f|_{p}|mu (K)|^{1/q}<+infty }$

Y por tanto:

${displaystyle fin L_{loc}^{1}(Omega )}$

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

${displaystyle {int _{K}|f|dx}={int _{Omega }|fchi _{K}|dx}leq left|{int _{K}|f|^{p}dx} ight|^{1/p}left|{int _{K}dx} ight|^{1/q}=|f|_{p}|mu (K)|^{1/q}<+infty }$

la afirmación se sigue también para funciones ${displaystyle f}$que pertenecen al espacio ${displaystyle L^{p}(K)}$ para cada conjunto compacto ${displaystyle K}$ de ${displaystyle Omega }$.