Desigualdad de Chebyshev

En probabilidad, la desigualdad de Chebyshov (también escrito de Chebychev) es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov.

En la literatura, a este tipo de desigualdades, cuya característica es la comparación de la probabilidad de la cola de la distribución y su valor esperado, se le conoce como desigualdades tipo Chebyshov.

Estas desigualdades son la herramienta básica para demostrar resultados como la ley de los grandes números, entre otros. Además de que tienen aplicaciones en estadística, así como en otras áreas de las matemáticas.

El teorema se llama así por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev, a pesar de que fue formulada por primera vez por su amigo y colega Irénée-Jules Bienaymé.^[1]​^:98 El teorema fue enunciado primero sin pruebas por Bienaymé en 1853^[2]​ y posteriormente probado por Chebyshev en 1867.^[3]​ Su estudiante Andrey Markov proporcionó otra prueba más en 1884 en su tesis doctoral.^[4]​

Sea ${displaystyle X}$ una variable aleatoria no negativa y una función ${displaystyle f:mathbb {R} longrightarrow mathbb {R} _{+}}$ creciente tal que ${displaystyle mathbb {E} left[fleft(X ight) ight]<+infty }$. Entonces ${displaystyle forall ain mathbb {R} }$ se da la desigualdad siguiente:

${displaystyle fleft(a ight)cdot mathbb {P} left(Xgeq a ight)leq mathbb {E} left[fleft(X ight) ight]}$

Algunas formulaciones menos generales que se desprenden de la primera son las siguientes:

estándar de la media

estándar de la media

Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando ${displaystyle a=2}$, se deduce que al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres.

Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo ${displaystyle (mu -{sqrt {2}}sigma ,mu +{sqrt {2}}sigma )}$.

Debido a que por hipótesis ${displaystyle f}$ es creciente, se cumple que:

Si ${displaystyle X}$ es continua se tiene,

${displaystyle mathbb {E} left(fleft(a ight)cdot 1_{leftlbrace Xgeq a ight brace } ight)=f(a)int _{a}^{infty }f(x)dx=fleft(a ight)cdot mathbb {P} left(Xgeq a ight)}$

y de ser discontinua se razonaría análogamente, llegando a la misma conclusión. Si ahora se aplica el funcional esperanza a los dos lados de la primera desigualdad, se habrá demostrado el resultado.

Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar ${displaystyle Y}$ definida así:

${displaystyle Y=left{{egin{array}{ll}0&mathrm {si } |X-mu |leq asigma \1&mathrm {si } |X-mu |>asigma \end{array}} ight.}$

Entonces, trivialmente,

${displaystyle asigma Yleq left|X-mu ight|}$

y por lo tanto,

${displaystyle a^{2}sigma ^{2}Y^{2}leq left(X-mu ight)^{2}.}$

Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene

${displaystyle a^{2}sigma ^{2}mathbb {E} left[Y^{2} ight]leq mathbb {E} [left(X-mu ight)^{2}]=sigma ^{2},}$

por lo que

${displaystyle mathbb {E} left[Y^{2} ight]leq {frac {1}{a^{2}}}.}$

Pero, a su vez, dado que ${displaystyle Y}$ sólo puede ser 0 o 1,

${displaystyle mathbb {E} left[Y^{2} ight]=mathbb {P} (Y=1)=mathbb {P} (left|X-mu ight|>asigma ),}$

lo que prueba el resultado.