Distribución de Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, dónde el valor ${displaystyle 1}$ (éxito) ocurre con la probabilidad ${displaystyle p}$ y el valor ${displaystyle 0}$ (fracaso) con la probabilidad ${displaystyle q=1-p}$.

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo y la serie de esos experimentos como experimento Bernoulli.

Si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria discreta que mide el "número de éxitos" y se realiza un único experimento con dos posibles resultados denominados éxito y fracaso, se dice que la variable aleatoria ${displaystyle X,}$ se distribuye como una Bernoulli de parámetro ${displaystyle p,}$ con ${displaystyle 0<p<1}$ y escribimos${displaystyle Xsim operatorname {Bernoulli} (p)}$.

Su función de probabilidad es

lo anterior es equivalente a escribir

en ocasiones también suele escribirse como

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${displaystyle Xsim operatorname {Bernoulli} (p)}$ está dada por

Si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${displaystyle Xsim operatorname {Bernoulli} (p)}$ entonces la variable aleatoria ${displaystyle X}$ cumple algunas propiedades.

Su media está dada por

Esta se demuestra fácilmente utilizando la definición de esperanza

con lo anterior es fácil obtener una expresión para ${displaystyle operatorname {E} [X^{2}]}$ pues

Teniendo ${displaystyle operatorname {E} [X^{2}]}$ y ${displaystyle operatorname {E} [X]}$ puede deducirse que la varianza de ${displaystyle X}$ está dada por

El ${displaystyle n}$-ésimo momento de la variable aleatoria ${displaystyle X}$ es

Su función generadora de momentos está dada por

Su función generadora de probabilidad está dada por

La función característica está dada por

Moda

Asimetría (Sesgo)

Curtosis

La Curtosis tiende a infinito para valores de ${displaystyle p}$ cercanos a 0 o a 1, pero para ${displaystyle p={frac {1}{2}}}$ la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

La distribución Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con ${displaystyle n=1}$, esto es ${displaystyle operatorname {Bernoulli} (p)equiv operatorname {Bin} (1,p)}$.

Se quiere lanzar una moneda y obtener la probabilidad de que salga cruz, se trata de un solo experimento con dos resultados posibles: el éxito se considerará sacar cruz y valdrá ${displaystyle p=0.5}$. El fracaso será que salga cara y vale ${displaystyle q=1-p=1-0.5=0.5}$.

La variable aleatoria ${displaystyle X}$ mide el "número de cruces que salen en un lanzamiento" y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (no salga cruz, es decir, salir cara) y 1 (salga cruz), por lo tanto, la variable aleatoria ${displaystyle X}$ se distribuirá como una Bernoulli con parámetro ${displaystyle p=0.5}$, es decir, ${displaystyle Xsim operatorname {Bernoulli} (0.5)}$, por lo que

Se lanza un dado y se quiere hallar la probabilidad de que salga un 6.

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por lo tanto, la probabilidad según la Regla de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

${displaystyle p=1/6}$

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

${displaystyle q=1-p=1-1/6=5/6}$

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro ${displaystyle p}$ = 1/6

${displaystyle Xsim operatorname {Bernoulli} (1/6)}$

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

${displaystyle P(X=1)=f(1)=(1/6)^{1}*(5/6)^{0}=1/6=0.1667}$

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

${displaystyle P(X=0)=f(0)=(1/6)^{0}*(5/6)^{1}=5/6=0.8333}$