Elemento primo

En álgebra abstracta, un elemento de un anillo es primo si satisface una condición similar a la establecida por el lema de Euclides.

Si R es un anillo conmutativo, un elemento p de R es primo si

O condensando: Un elemento k no nulo y no invertible de un anillo R se llama primo, si cada vez que k divide al producto de dos elementos de R, también divide uno de sus factores. Se ve que si a es primo, entonces todo asociado de a es primo.^[1]​

Ejemplos:

Esto es equivalente a la condición que el ideal principal generado por el elemento p sea un ideal primo distinto de cero.

La definición usual de número primo estable que es aquel que sólo tiene por factores a sí mismo y a la unidad. Esta condición se generaliza en teoría de anillos en el concepto de elemento irreducible:

R es un anillo conmutativo, un elemento q de R es irreducible si para cualquier factorización q=ab entonces alguno de los dos factores es una unidad del anillo.

Un elemento no nulo y no invertible de un anillo se llama irreducible si sus únicos divisores son los elementos invertibles del anillo y sus propios asociados.^[2]​ Ejemplo 3 es irreducible en Z, ya que sus únicos divisores son 1, -1, 3, -3.

Sin embargo, en un dominio de factorización única ambos conceptos son equivalentes (un elemento primo es irreducible y viceversa). Sin embargo, dicha relación no es válida en general.

En un dominio principal, todo elemento irreducible es primo.

En Z un elemento es primo sii es irreducible.

El anillo de los enteros es un dominio de factorización única. De ahí sigue el TFA^[3]​