Espacio de caminos

El espacio de caminos de un espacio topológico con punto base (X,x_0) es un objeto fundamental en topología algebraica y en teoría de la homotopía, especialmente desde los resultados de J.P. Serre. En este artículo citamos las propiedades básicas de este espacio topológico y del espacio de lazos asociado.

Sea ${displaystyle (X,x_{0})}$ un espacio topológico con ${displaystyle x_{0}in X}$ punto base. Los caminos del espacio X son aplicaciones continuas de [0,1] en X; en la categoría de espacios con punto base los caminos del espacio ${displaystyle (X,x_{0})}$ son aplicaciones continuas ([0,1],0), luego la imagen de ${displaystyle 0in [0,1]}$ debe ser ${displaystyle x_{0}in X}$. El espacio de caminos de ${displaystyle (X,x_{0})}$ es el conjunto

${displaystyle {mathcal {P}}(X):={sigma :[0,1]longrightarrow X{mbox{ aplicación contínua}}|sigma (0)=x_{0}}}$

dotado de la topología compacto-abierta. Existe una aplicación ${displaystyle pi :{mathcal {P}}(X)longrightarrow X}$ enviando cada camino al punto final, i.e. ${displaystyle pi (sigma )=sigma (1)}$.

La fibra de esta aplicación es homotópica al espacio de lazos ${displaystyle Omega X={sigma :[0,1]longrightarrow X|sigma (0)=sigma (1)=x_{0}}}$. En efecto, sea ${displaystyle xin X}$ y U un entorno contráctil de x: la inclusión de x en U induce una aplicación ${displaystyle pi ^{-1}(x)longrightarrow pi ^{-1}(U)}$ con inversa homotópica la aplicación inducida por la contracción de U a x. Consecuentemente, si ${displaystyle x,yin X}$ pertenecen a la misma componente arcoconexa entonces un camino entre x e y induce ${displaystyle pi ^{-1}(x)simeq pi ^{-1}(y)}$. De hecho, se puede demostrar que la aplicación ${displaystyle pi }$ satisface la propiedad homotópica de cubierta y es por lo tanto una fibración de Serre.

Observemos que el espacio ${displaystyle {mathcal {P}}(X)}$ es contráctil, luego su relevancia proviene de sus relaciones con X y ${displaystyle Omega X}$.

La fibración del espacio de caminos permite calcular la cohomología del espacio de lazos de ciertos espacios topológicos. Nótese que la fibración ${displaystyle pi :{mathcal {P}}(X)longrightarrow X}$ satisface ${displaystyle H^{q}(pi ^{-1}(U))cong mathbb {H} ^{q}(Omega X)}$ para abiertos contráctiles dado que ${displaystyle pi ^{-1}U}$ tiene el tipo de homotopía de ${displaystyle Omega X}$ por la sección anterior.

Cálculo de ${displaystyle H^{*}(Omega S^{2})}$: usamos la sucesión espectral de Leray. La sucesión converge hacia la página ${displaystyle E_{infty }}$ codificando ${displaystyle H^{*}({mathcal {P}}(X))=H^{0}({mathcal {P}}(X))=mathbb {Z} }$, así que el único elemento no cero de la página límite es ${displaystyle E_{infty }^{0,0}}$. En la segunda página obtenemos ${displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(S^{2},H^{q}(pi ^{-1}U))cong H^{p}(S^{2},H^{q}(Omega S^{2}))}$. Como ${displaystyle S^{2}}$ es simplemente conexa, ${displaystyle {mathcal {P}}(X)}$ conexa la fibra es conexa luego ${displaystyle H^{0}(Omega S^{2})=mathbb {Z} }$. Teniendo en cuenta que ${displaystyle H^{*}(S^{2})=H^{0}(S^{2})oplus H^{2}(S^{2})}$, las únicas columnas no vacías en ${displaystyle E_{2}}$ son la primera (p=0) y la tercera (p=2). En consecuencia los diferenciales en las páginas siguientes son nulos y por lo tanto los diferenciales ${displaystyle d_{2}}$ entre las columnas deben ser isomorfos. Dado que ${displaystyle d_{2}:E_{2}^{0,1}cong H^{1}(Omega S^{2})longrightarrow mathbb {Z} }$, obtenemos ${displaystyle H^{q}(Omega S^{2})cong mathbb {Z} }$ para todo q.

El ejemplo anterior generaliza trivialmente para calcular ${displaystyle H^{*}(Omega S^{n})cong H^{0}(Omega S^{n})oplus H^{n-1}(Omega S^{n})oplus H^{2(n-1)}(Omega S^{n})oplus ldots oplus H^{k(n-1)}(Omega S^{n})oplus ldots cong mathbb {Z} oplus mathbb {Z} oplus mathbb {Z} oplus ldots oplus mathbb {Z} oplus ldots }$. Ciertamente, sólo se tiene que llegar a la página ${displaystyle E_{n}}$ y aplicar el argumento anterior. En las referencias se calcula además la estructura de anillo de cohomología, es decir, los productos cup entre los generadores.

El cálculo de la cohomología de ${displaystyle Omega S^{n}}$ tiene implicaciones directas en la existencia de (infinitas) geodésicas entre dos puntos. Este aplicación es debida a Raoul Bott y se puede encontrar en el libro de J.W. Milnor Morse Theory.