La Topología algebraica es una rama de las matemáticas en la que se usan las herramientas del álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos. El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicas que clasifican los espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque normalmente muchos se clasifican hasta la equivalencia homotópica.
La meta es clasificar los espacios topológicos. Un nombre antiguo para esta materia era el de topología combinatoria, que ponía el énfasis en cómo un espacio dado X podía construirse a partir de espacios más pequeños. El método básico que se aplica ahora en topología algebraica es el de investigar los espacios por medio de los invariantes algebraicos: por ejemplo aplicándolos, relacionándolos con los grupos, que tienen bastante estructura utilizable, y de manera que se respete la relación de homeomorfismo de espacios.
Las dos formas principales como se hace esto son a través de los grupos fundamentales, o más en general la Teoría de homotopía, y por medio de los grupos de homología y de cohomología. Los grupos fundamentales nos suministran información básica sobre la estructura de un espacio topológico; pero son a menudo no-abelianos y pueden ser difíciles de usar. El grupo fundamental de un complejo simplicial (finito) tiene una presentación finita.
Los grupos de homología y cohomología, por otra parte, son abelianos, y en muchos casos importantes son finitamente generados. Los grupos abelianos finitamente generados pueden clasificarse completamente y son particularmente fáciles de usar.
Varios resultados útiles se siguen inmediatamente de trabajar con grupos abelianos finitamente generados. El rango libre del grupo de n-homología de un complejo simplicial es igual al n-número de Betti, así que se pueden usar los grupos de homología de un complejo simplicial para calcular su característica de Euler-Poincaré. Si un grupo de n-homología de un complejo simplicial tiene torsión, entonces el complejo es no-orientable. Así que la homología "codifica" gran parte de la información topológica de un espacio topológico dado.
Más allá de la homología simplicial, podemos usar la estructura diferencial de las Variedades por medio de la Cohomología de De Rham, o la de Cech o con la cohomología de haces para investigar la resolubilidad de las ecuaciones diferenciales definidas en la variedad en cuestión. De Rham demostró que todos estos tipos de aproximación están interrelacionados y que los números de Betti que se derivan de la homología simplicial eran los mismos números de Betti que aquellos que se derivan de la cohomología de De Rham.
Entre la aplicaciones clásicas de la topología algebraica se encuentran:
En general, todas las construcciones de la topología algebraica son funtoriales: las nociones de categoría, funtor y transformación natural se originaron aquí. Los grupos fundamentales, de homología y cohomología no son sólo invariantes del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos son homeomorfos si tienen asociados los mismos grupos; una aplicación continua de espacios induce un homomorfismo entre los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden ser usados para probar la no-existencia (o, más profundamente, la existencia) de aplicaciones.
El problema geométrico, abierto por cerca de un siglo, y más famoso de la topología algebraica es la Conjetura de Poincaré, resuelto por el ruso Grigori Perelmán en 2002. El campo de la Teoría de homotopía contiene muchos misterios, en particular la manera correcta de describir los grupos de homotopía de las esferas.
Las herramientas importantes (como teoremas fundamentales) para el cálculo de invariantes de esta teoría son:
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