Topología cociente

En matemáticas, la topología cociente consiste intuitivamente en crear una topología pegando ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una relación de equivalencia bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de espacio cociente. Ejemplos conocidos son el toro matemático o la banda de Möbius.

Sean ${displaystyle (X,{mathcal {T}}_{X}) }$ un espacio topológico y ${displaystyle {mathcal {R}},}$ una relación de equivalencia sobre ${displaystyle X }$. El conjunto cociente ${displaystyle Y=X/{mathcal {R}},}$ es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de ${displaystyle X }$:

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada topología cociente sobre ${displaystyle Y}$ son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en ${displaystyle X}$:

Definición equivalente: sea la aplicación proyección ${displaystyle p:X ightarrow X/{mathcal {R}}}$ dada por ${displaystyle p(x)=[x]}$, se definen los abiertos de ${displaystyle {mathcal {T}}_{mathcal {R}}}$ como los conjuntos ${displaystyle Usubseteq Y}$ tales que ${displaystyle p^{-1}(U)subseteq X}$ es abierto.