Momento centrado

En estadística el momento central o centrado de orden ${displaystyle k}$ de una variable aleatoria ${displaystyle X}$ es la esperanza matemática ${displaystyle operatorname {E} [(X-E[X])^{k}]}$ donde ${displaystyle operatorname {E} }$ es el operador de la esperanza. Si una variable aleatoria no tiene media el momento central es indefinido. También se puede definir como:

${displaystyle mu _{k}=operatorname {E} left[(X-operatorname {E} [X])^{k} ight]=int _{-infty }^{+infty }(x-mu )^{k}f(x),dx.}$

Normalmente la letra griega para el momento central es μ. El primer momento central es cero y el segundo se llama varianza (σ²) donde σ es la desviación estándar. El tercer y cuarto momentos centrales sirven para definir los momentos estándar denominados de asimetría y de curtosis.

Las fórmulas de los momentos centrados y no centrados se pueden obtener a partir de la fórmula de la esperanza matemática. Si la desarrollamos, obtenemos que los momentos no centrados son:

Orden 0: ${displaystyle E[x^{0}]=1}$

Orden 1: ${displaystyle E[x]={frac {sum _{i}x_{i}}{n}}=m=alpha }$

Orden 2: ${displaystyle E[x^{2}]={frac {sum _{i}x_{i}^{2}}{n}}=alpha _{2}}$

Orden 3: ${displaystyle E[x^{3}]={frac {sum _{i}x_{i}^{3}}{n}}=alpha _{3}}$

Orden 4: ${displaystyle E[x^{4}]={frac {sum _{i}x_{i}^{4}}{n}}=alpha _{4}}$

Mientras que los centrados son:

Orden 0: ${displaystyle E[(x-m)^{0}]=1}$

Orden 1: ${displaystyle E[(x-m)]=alpha -alpha =0}$

Orden 2: ${displaystyle E[(x-m)^{2}]=alpha _{2}-alpha ^{2}=sigma ^{2}=mu _{2}}$

Orden 3: ${displaystyle E[(x-m)^{3}]=alpha _{3}-3alpha alpha _{2}+2alpha ^{3}=mu _{3}}$

Orden 4: ${displaystyle E[(x-m)^{4}]=alpha _{4}-4alpha alpha _{3}+6alpha ^{2}alpha _{2}-3alpha ^{4}=mu _{4}}$