Filtro (matemática)

En matemáticas, específicamente en teoría del orden, retículos y topología, un filtro es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado. Un caso especial utilizado con frecuencia es cuando el conjunto ordenado considerado el conjunto potencia de un conjunto ${displaystyle S}$, ${displaystyle 2^{S}={mathcal {P}}(S)={x:xsubseteq S}}$, (es decir, el conjunto conformado por todos los subconjuntos de ${displaystyle S}$), ordenado mediante la relación de inclusión. La noción de dual de un filtro es la de ideal.

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan in 1937^[1]​^[2]​ y utilizados subsecuentemente por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y H. L. Smith.

Un subconjunto no vacío ${displaystyle F eq varnothing }$ de un conjunto parcialmente ordenado ${displaystyle (P,sqsubseteq )}$ es un filtro si se dan las siguientes condiciones:

Un filtro se dice propio si no es igual a todo el conjunto ${displaystyle P}$ completo.

Mientras que la definición de arriba es la manera más general para definir un filtro sobre "posets" arbitrarios, originalmente se definió solo para los reticulados, en cuyo caso, la definición de arriba puede caracterizarse por la siguiente proposición equivalente:

Un subconjunto no vacío ${displaystyle F eq varnothing }$ de un reticulado ${displaystyle (P,sqsubseteq )}$ es un filtro, si y solo si es un conjunto "upper" que es cerrado bajo finitas "meets": ${displaystyle sqcap }$ (ínfimo), esto es, para todo ${displaystyle x,yin F}$, se tiene que ${displaystyle xsqcap yin F}$.

El filtro más pequeño que contenga cierto elemento dado ${displaystyle p}$ es un filtro principal y ${displaystyle p}$ es un elemento principal en esta situación. El filtro principal para ${displaystyle p}$ viene dado por el conjunto ${displaystyle {xin P:psqsubseteq x}}$ denotado por ${displaystyle {uparrow },p}$.

La noción de ideal es el dual de la noción de filtro, esto es, el ideal se obtiene cambiando todas las ${displaystyle sqsubseteq }$ por ${displaystyle sqsupseteq }$ y todas las ${displaystyle sqcap }$ por ${displaystyle sqcup }$ en el filtro. Debido a esta dualidad la discusión sobre los filtros repite la de los ideales. De ahí que la mayor parte de la información adicional sobre ellos (incluyendo la de filtros maximales y filtros primos) se encuentra en el artículo sobre ideales. Existe también un artículo separado sobre ultrafiltros.

Un caso importante de filtros en teoría del orden son los filtros de conjuntos, que se obtienen tomando el conjunto potencia de un conjunto dado ${displaystyle S}$, visto como orden parcial y ordenado por la inclusión de subconjuntos. Con ello tendremos que un filtro ${displaystyle F}$ sobre un conjunto ${displaystyle S}$ es un conjunto de subconjuntos de ${displaystyle S}$ con las siguientes propiedades:

Las tres primeras propiedades implican que un filtro de conjunto tiene la Propiedad de la Intersección Finita. Nótese que con esta definición, un filtro de conjunto es en efecto un filtro; de hecho es un filtro propio. Debido a ello, algunas veces es llamado filtro propio de un conjunto; desde luego, tan claro como sea el contexto del conjunto, el nombre más breve es suficiente.

Una base de filtro es un subconjunto ${displaystyle B}$ de ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ con las siguientes propiedades:

Dado una base de filtro ${displaystyle B}$, se puede obtener un filtro (propio) al incluir todos los conjuntos de ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ que contienen a algún subconjunto de ${displaystyle B}$. El filtro que resulta se dice generado por la base de filtro ${displaystyle B.}$ Todo filtro es a fortiori una base de filtro, de modo que el proceso de pasar de una base de filtro a un filtro puede ser visto como una especie de completación.

Si B y C son dos bases de filtro en S, se dice que C es más fino que B (o que C es un refinamiento de B), si para cada B₀ ∈ B existe C₀ ∈ C tal que C₀ ⊆ B₀.

Para las bases de filtros B y C, si B es más fina que C, y C es más fina que B, entonces se dice que B y C son bases de filtro equivalentes. Dos bases de filtro son equivalentes si y solo si los filtros que generan son iguales.

Para las bases de filtros A, B y C, si A es más fina que B, y B es más fina que C, A es más fina que C. Por tanto la relación de refinamiento es un preorden en el conjunto de las bases de filtros, y el pasaje de una base de filtro a un filtro es un ejemplo de un preordenamiento al ordenamiento parcial asociado.

Dado un subconjunto T de P(S) podemos preguntar cuándo existe un filtro más pequeño F que contiene a T. Tal filtro existe si y solo si la intersección finita de subconjuntos de T es no vacía. Llamamos a T subbase de F, y decimos que F está generado por T. La subbase T puede construirse tomando todas las intersecciones finitas de T, el cual es entonces una base de filtro para F.

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