Forma de onda de Maass

En matemáticas, las formas de Maass o las formas de onda de Maass se estudian en la teoría de formas automorfas. Las formas de Maass son funciones suaves de valores complejos del semiplano superior, que se transforman de manera similar bajo la operación de un subgrupo discreto ${displaystyle Gamma }$ de ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ como formas modulares. Son formas propias del operador hiperbólico de Laplace ${displaystyle Delta }$ definido en ${displaystyle mathbb {H} }$ y satisfacen ciertas condiciones de crecimiento en las cúspides de un dominio fundamental de ${displaystyle Gamma }$. En contraste con las formas modulares, las formas de Maass no necesitan ser holomórficas. El primero en estudiarlas (a partir de 1949) fue el matemático alemán Hans Maass.

El grupo

opera en el semiplano superior

por transformaciones lineales fraccionarias:

Se puede extender a una operación en ${displaystyle mathbb {H} cup {infty }cup mathbb {mathbb {R} } }$ definiendo:

La medida de Radon

definida en ${displaystyle mathbb {H} }$ es invariante bajo la operación de ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$.

Sea ${displaystyle Gamma }$ un subgrupo discreto de ${displaystyle G}$ . Un dominio fundamental para ${displaystyle Gamma }$ es un conjunto abierto ${displaystyle Fsubset mathbb {H} }$, para que exista un sistema de representantes ${displaystyle R}$ de ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} }$ con

Un dominio fundamental para el grupo modular ${displaystyle Gamma (1):=mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ viene dado por

(véase forma modular ).

Una función ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ se llama ${displaystyle Gamma }$-invariante, si ${displaystyle f(gamma z)=f(z)}$ vale para todo ${displaystyle gamma in Gamma }$ y todo ${displaystyle zin mathbb {H} }$.

Por cada medible, la función ${displaystyle Gamma }$-invariante ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ cumple la ecuación

Aquí la medida ${displaystyle dmu }$ en el lado derecho de la ecuación es la medida inducida en el cociente ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} .}$

El operador hiperbólico de Laplace en ${displaystyle mathbb {H} }$ se define como

Una fórmula de Maass para el grupo ${displaystyle Gamma (1):=mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ es una función suave de valor complejo ${displaystyle f}$ en ${displaystyle mathbb {H} }$ satisfaciendo

Es fácil demostrar que ${displaystyle f}$ es la forma de cúspide de Maass si y solo si ${displaystyle a_{0}(y)=0forall y>0}$ .

llamando a ${displaystyle f}$ forma de cúspide de Maass.

Sea ${displaystyle f}$ una forma Maass. Entonces, si

se tiene que:

Por lo tanto ${displaystyle f}$ tiene una expansión de Fourier de la forma

con funciones coeficiente ${displaystyle a_{n},nin mathbb {N} .}$

Formas pares e impares de Maass: sea ${displaystyle i(z):=-{overline {z}}}$ . Entonces i opera en todas las funciones ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ por ${displaystyle i(f):=f(i(z))}$ y conmuta con el laplaciano hiperbólico. Una forma de Maass ${displaystyle f}$ se llama par, si ${displaystyle i(f)=f}$ e impar si ${displaystyle i(f)=-f}$ . Si f es una forma de Maass, entonces ${displaystyle { frac {1}{2}}(f+i(f))}$ es una forma uniforme de Maass y ${displaystyle { frac {1}{2}}(f-i(f))}$ una forma de Maass impar y cumple que ${displaystyle f={ frac {1}{2}}(f+i(f))+{ frac {1}{2}}(f-i(f))}$ .

Se pueden calcular las funciones coeficiente de manera precisa mediante la función de Bessel ${displaystyle K_{v}}$.

Definición: la función de Bessel ${displaystyle K_{v}}$ se define como

La integral converge localmente uniformemente absolutamente para ${displaystyle y>0}$ en ${displaystyle sin mathbb {C} }$ y la desigualdad

se cumple para todo ${displaystyle y>4}$ .

Por lo tanto, ${displaystyle |K_{s}|}$ disminuye exponencialmente para ${displaystyle y o infty }$ . Además, se tiene que ${displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$ para todo ${displaystyle sin mathbb {C} ,y>0}$ .

Prueba: se tiene que

Por la definición de los coeficientes de Fourier, se obtiene

para ${displaystyle nin mathbb {Z} .}$

Considerando ambas ecuaciones, se deduce que

para ${displaystyle nin mathbb {Z} .}$

En (1) se utilizó que el n-ésimo coeficiente de Fourier de ${displaystyle {frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}}$ es ${displaystyle (2pi in)^{2}a_{n}(y)}$ para el primer término sumatorio. En el segundo término se cambió el orden de integración y diferenciación, lo que está permitido ya que f es suave en y. Se obtiene una ecuación diferencial lineal de segundo grado:

por ${displaystyle n=0}$ se puede demostrar que para cada solución ${displaystyle f}$ existen coeficientes únicos ${displaystyle c_{0},d_{0}in mathbb {C} }$ con la propiedad ${displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{frac {1}{2}}- u }+d_{0}y^{{frac {1}{2}}+ u }.}$

Para ${displaystyle n eq 0}$ cada solución ${displaystyle f}$ es de la forma

para un único ${displaystyle c_{n},d_{n}in mathbb {C} }$ . Aquí ${displaystyle K_{v}(s)}$ y ${displaystyle I_{v}(s)}$ son funciones de Bessel.

Las funciones de Bessel ${displaystyle I_{v}}$ crecen exponencialmente, mientras que las funciones de Bessel ${displaystyle K_{v}}$ decrecen exponencialmente. Junto con la condición 3) de crecimiento polinomial, se obtiene ${displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{sqrt {y}}K_{v}(2pi |n|y)}$ (además ${displaystyle d_{n}=0}$ ) para un único ${displaystyle c_{n}in mathbb {C} .square }$

Sea

Primero se muestra la ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$-invarianza. Sea

una forma de cúspide de Maass. Se define la función L de ${displaystyle f}$ como

Entonces la serie ${displaystyle L(s,f)}$ converge para ${displaystyle Re(s)>{ frac {3}{2}}}$ y se puede continuar con una función completa en ${displaystyle mathbb {C} }$.

Si ${displaystyle f}$ es par o impar, se obtiene

aquí ${displaystyle varepsilon =0}$ si ${displaystyle f}$ es par, y ${displaystyle varepsilon =-1}$ si ${displaystyle f}$ es impar. Entonces ${displaystyle Lambda }$ satisface la ecuación funcional

La serie de Eisenstein no holomórfica se define para ${displaystyle zin mathbb {H} }$ y ${displaystyle sin mathbb {C} }$ como

donde ${displaystyle Gamma (s)}$ es la función Gamma.

La serie converge absolutamente en ${displaystyle zin mathbb {H} }$ para ${displaystyle Re(s)>1}$ y localmente uniformemente en ${displaystyle mathbb {H} imes {Re(s)>1}}$, como se puede demostrar, que la serie

converge absolutamente en ${displaystyle zin mathbb {H} ,}$ Si ${displaystyle Re(s)>2.}$ Más precisamente, converge uniformemente en cada conjunto ${displaystyle K imes {Re(s)geq alpha },}$ para cada conjunto compacto ${displaystyle Ksubset mathbb {H} }$ y cada ${displaystyle alpha >2.}$

Solo se muestra ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$-invarianza y la ecuación diferencial. Una prueba de la suavidad se puede encontrar en Deitmar o Bump. La condición de crecimiento se deriva de la expansión de Fourier de la serie de Eisenstein.

Prueba: el grupo ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ es generado por los elementos de la forma

el grupo estabilizador ${displaystyle infty }$ correspondiente a la operación de ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ en ${displaystyle mathbb {H} cup {infty }}$.

Prueba. Definir:

(a) ${displaystyle { ilde {E}}}$ converge absolutamente en ${displaystyle zin mathbb {H} }$ para ${displaystyle Re(s)>1}$ y ${displaystyle E(z,s)=pi ^{-s}Gamma (s)zeta (2s){ ilde {E}}(z,s).}$

Dado que

se obtiene

Eso prueba la convergencia absoluta en ${displaystyle zin mathbb {H} }$ para ${displaystyle Re(s)>1.}$

Además, se deduce que

dado que la aplicación

es una biyección, se sigue (a).

(b) Se tiene ${displaystyle E(gamma z,s)=E(z,s)}$ para todo ${displaystyle gamma in Gamma (1)}$.

Para ${displaystyle { ilde {gamma }}in Gamma (1)}$ se obtiene

Junto con (a), ${displaystyle E}$ también es invariante bajo ${displaystyle Gamma (1)}$. ${displaystyle square }$

Se necesita el siguiente lema:

Se calcula la condición de estos generadores y se obtiene la de todos los ${displaystyle gin mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ . ${displaystyle square }$

Dado que ${displaystyle E(z,s)=pi ^{-s}Gamma (s)zeta (2s){ ilde {E}}(z,s)}$, es suficiente demostrar la ecuación diferencial para ${displaystyle { ilde {E}}.}$ Se tiene que:

Además,

Dado que el operador de Laplace conmuta con la operación de ${displaystyle Gamma (1)}$, se obtiene que

y entonces

Por lo tanto, la ecuación diferencial se cumple para E en ${displaystyle Re(s)>3.}$ Para obtener el cumplimiento de todo ${displaystyle sin mathbb {C} ,}$ considerar la función ${displaystyle Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s).}$ Al calcular explícitamente la expansión de Fourier de esta función, obtenemos que es meromórfica. Ya que se desvanece por ${displaystyle Re(s)>3,}$ debe ser la función cero por el teorema de identidad.

La serie de Eisenstein no holomórfica tiene una expansión de Fourier

donde

Si ${displaystyle zin mathbb {H} }$, ${displaystyle E(z,s)}$ tiene una continuación meromórfica en ${displaystyle mathbb {C} }$. Es holomorfo, excepto para polos simples en ${displaystyle s=0,1}$.

La serie de Eisenstein satisface la ecuación funcional

para todos los ${displaystyle zin mathbb {H} }$.

Localmente uniformemente en ${displaystyle xin mathbb {R} }$ mantiene la condición de crecimiento

donde ${displaystyle sigma =max(operatorname {Re} (s),1-operatorname {Re} (s))}$.

La continuación meromórfica de E es muy importante en la teoría espectral del operador hiperbólico de Laplace.

Para ${displaystyle Nin mathbb {N} }$, sea ${displaystyle Gamma (N)}$ el núcleo de la proyección canónica

Se denomina a ${displaystyle Gamma (N)}$ subgrupo de congruencia principal de nivel ${displaystyle N}$. Un subgrupo ${displaystyle Gamma subseteq mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ se llama subgrupo de congruencia, si existe ${displaystyle Nin mathbb {N} }$, de modo que ${displaystyle Gamma (N)subseteq Gamma }$. Todos los subgrupos de congruencia son discretos.

Sea

Para un subgrupo de congruencia ${displaystyle Gamma ,}$, y sea ${displaystyle {overline {Gamma }}}$ la imagen de ${displaystyle Gamma }$ en ${displaystyle {overline {Gamma (1)}}}$. Si S es un sistema de representantes de ${displaystyle {overline {Gamma }}ackslash {overline {Gamma (1)}}}$, entonces

es un dominio fundamental para ${displaystyle Gamma }$. El conjunto ${displaystyle S}$ está determinado únicamente por el dominio fundamental ${displaystyle SD}$. Además, ${displaystyle S}$ es finito.

Los puntos ${displaystyle gamma infty }$ para ${displaystyle gamma in S}$ se denominan cúspides del dominio fundamental ${displaystyle SD}$. Son un subconjunto de ${displaystyle mathbb {Q} cup {infty }}$.

Para cada cúspide ${displaystyle c}$ existe ${displaystyle sigma in Gamma (1)}$ con ${displaystyle sigma infty =c}$.

Sea ${displaystyle Gamma }$ un subgrupo de congruencia y ${displaystyle kin mathbb {Z} }$.

Se define el operador hiperbólico de Laplace ${displaystyle Delta _{k}}$ de peso ${displaystyle k}$ como

Esta es una generalización del operador hiperbólico de Laplace ${displaystyle Delta _{0}=Delta }$.

Ahora, se define una operación de ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ en ${displaystyle C^{infty }(mathbb {H} )}$ por

donde

Se puede demostrar que

se aplica a todos los ${displaystyle fin C^{infty }(mathbb {H} ),kin mathbb {Z} }$ y a todos los ${displaystyle gin mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$.

Por lo tanto, ${displaystyle Delta _{k}}$ opera en el espacio vectorial

Definición. Una forma de Maass de peso ${displaystyle kin mathbb {Z} }$ para ${displaystyle Gamma }$ es una función ${displaystyle fin C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ que es una función propia de ${displaystyle Delta _{k}}$ y tiene un crecimiento moderado en las cúspides.

El término crecimiento moderado en las cúspides necesita aclaración. Una cúspide en el infinito de ${displaystyle Gamma ,}$, una función ${displaystyle fin C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ tiene un crecimiento moderado en ${displaystyle infty }$ si ${displaystyle f(x+iy)}$ está limitado por un polinomio en y como ${displaystyle y o infty }$. Sea ${displaystyle cin mathbb {Q} }$ otra cúspide. Entonces existe ${displaystyle heta in mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z} )}$ con ${displaystyle heta (infty )=c}$. Sea a su vez ${displaystyle f':=f_{||k} heta }$. Entonces ${displaystyle f'in C^{infty }(Gamma 'ackslash mathbb {H} ,k)}$, donde ${displaystyle Gamma '}$ es el subgrupo de congruencia ${displaystyle heta ^{-1}Gamma heta }$. Se dice que ${displaystyle f}$ tiene un crecimiento moderado en la cúspide ${displaystyle c}$, si ${displaystyle f'}$ tiene un crecimiento moderado en ${displaystyle infty }$.

Definición. Si ${displaystyle Gamma }$ contiene un subgrupo de congruencia principal de nivel ${displaystyle N}$, se dice que ${displaystyle f}$ es cúspide en el infinito, si

Se dice que ${displaystyle f}$ es cuspidal en la cúspide ${displaystyle c}$ si ${displaystyle f'}$ es cúspide en el infinito. Si ${displaystyle f}$ es cuspidal en cada cúspide, se dice que ${displaystyle f}$ es una forma de cúspde.

Damos un ejemplo simple de una forma de Maass de peso ${displaystyle k>1}$ para el grupo modular:

Ejemplo. Sea ${displaystyle g:mathbb {H} o mathbb {C} }$ una forma modular de peso par ${displaystyle k}$ para ${displaystyle Gamma (1).}$ Entonces ${displaystyle f(z):=y^{frac {k}{2}}g(z)}$ es una forma de Maass de peso ${displaystyle k}$ para el grupo ${displaystyle Gamma (1)}$.

Sea ${displaystyle Gamma }$ un subgrupo de congruencia de ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ y sea ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ el espacio vectorial de todas las funciones medibles ${displaystyle f:mathbb {H} o mathbb {C} }$ con ${displaystyle f_{||k}gamma =f}$ para todos los ${displaystyle gamma in Gamma }$ que satisfagan

funciones de módulo con ${displaystyle |f|=0.}$ La integral está bien definida, ya que la función ${displaystyle |f(z)|^{2}}$ es ${displaystyle Gamma }$-invariante. Este es un espacio de Hilbert con producto interno

El operador ${displaystyle Delta _{k}}$ se puede definir en un espacio vectorial ${displaystyle Bsubset L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)cap C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ que es denso en ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$. Allí ${displaystyle Delta _{k}}$ es un operador simétrico semidefinito positivo. Se puede demostrar que existe una continuación única autoadjunta en ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k).}$

Se define ${displaystyle C(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ como el espacio de todas las formas de cúspide ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)cap C^{infty }(Gamma ackslash mathbb {H} ,k).}$ Entonces, ${displaystyle Delta _{k}}$ opera en ${displaystyle C(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ y tiene un espectro discreto. El espectro perteneciente al complemento ortogonal tiene una parte continua y se puede describir con la ayuda de la serie de Eisenstein no holomórfica (modificada), sus continuaciones meromórficas y sus residuos. (Véase Bump o Iwaniec).

Si ${displaystyle Gamma }$ es un subgrupo discreto (sin torsión) de ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$, de modo que el cociente ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} }$ es compacto, el problema espectral se simplifica. Esto se debe a que un subgrupo discreto cocompacto no tiene cúspides. Aquí todo el espacio ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ es una suma de espacios propios.

${displaystyle G=mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$ es un grupo unimodular localmente compacto con la topología de ${displaystyle mathbb {R} ^{4}.}$ Sea ${displaystyle Gamma }$ un subgrupo de congruencia. Dado que ${displaystyle Gamma }$ es discreto en ${displaystyle G}$, también está cerrado en ${displaystyle G}$. El grupo ${displaystyle G}$ es unimodular y dado que la medida de conteo es una medida de Haar en el grupo discreto ${displaystyle Gamma }$, ${displaystyle Gamma }$ también es unimodular. Por la Fórmula Integral del Cociente existe una medida ${displaystyle G}$ de Radon invariante a la derecha ${displaystyle dx}$ en el espacio localmente compacto ${displaystyle Gamma ackslash G}$. Sea ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$ sea el espacio ${displaystyle L^{2}}$ correspondiente. Este espacio se descompone en una suma directa espacial de Hilbert:

donde

y

El espacio de Hilbert ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash mathbb {H} ,k)}$ puede integrarse isométricamente en el espacio de Hilbert ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G,k)}$. La isometría viene dada por la aplicación

Por lo tanto, todas las formas de cúspide de Maass para el grupo de congruencia ${displaystyle Gamma }$ pueden considerarse elementos de ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$.

${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$ es un espacio de Hilbert con una operación del grupo ${displaystyle G}$, la llamada representación regular recta:

Se puede demostrar fácilmente que ${displaystyle R}$ es una representación unitaria de ${displaystyle G}$ en el espacio ${displaystyle L^{2}(Gamma ackslash G)}$ de Hilbert. La descomposición en subrepresentaciones irreducibles solo es posible si ${displaystyle Gamma }$ es cocompacto. Si no, también hay una parte continua integral de Hilbert. La parte interesante es que la solución de este problema también resuelve el problema espectral de las formas de Maass. (véase Bump, C. 2.3)

Una forma de Maass de cúspide, un subconjunto de una forma de Maass, es una función en el semiplano superior que se transforma como una forma modular pero no necesita ser holomórfica. Primero fueron estudiadas por Hans Maass en Maass (1949).

Supóngase que k sea un número entero, s un número complejo y G un grupo discreto de SL₂(R). Una forma de Maass de peso k para G con el valor propio de Laplace s es una función suave del semiplano superior a los números complejos que satisfacen las siguientes condiciones:

Una forma de Maass débil se define de manera similar pero con la tercera condición reemplazada por "la función ${displaystyle f}$ tiene como máximo un crecimiento exponencial lineal en las cúspides". Además, se dice que ${displaystyle f}$ es armónica si es anulada por el operador laplaciano.

Sea ${displaystyle f}$ una forma de Maass de cúspide de peso 0. Su coeficiente de Fourier normalizado en un primer p está limitado por p^7/64 + p^-7/64. Este teorema se debe a Henry Kim y Peter Sarnak. Es una aproximación a la conjetura de Ramanujan–Petersson.

Las formas de Maass de cúspide pueden considerarse formas automorfas en GL(2). Es natural definir formas de Maass de cúspide en GL(n) como formas automorfas esféricas en GL (n) sobre el campo de los números racionales. Miller, Mueller, etc. probaron su existencia.

Sea ${displaystyle R}$ un anillo conmutativo con unidad y sea ${displaystyle G_{R}:=mathrm {GL} _{2}(R)}$ el grupo de matrices ${displaystyle 2 imes 2}$ definido sobre ${displaystyle R}$ y con determinante invertible. Sea ${displaystyle mathbb {A} =mathbb {A} _{mathbb {Q} }}$ el anillo de adeles racionales, sea ${displaystyle mathbb {A} _{ ext{fin}}}$ el anillo de los adeles finitos (racionales); y para un número primo ${displaystyle pin mathbb {N} }$, sea ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ el campo de números p-ádicos. Además, sea ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ el anillo de los enteros p-ádicos (véaseanillo adele). Definido ${displaystyle G_{p}:=G_{mathbb {Q} _{p}}}$, tanto ${displaystyle G_{p}}$ como ${displaystyle G_{mathbb {R} }}$ son grupos unimodulares localmente compactos si se equipan respectivamente con las topologías de subespacio de ${displaystyle mathbb {Q} _{p}^{4}}$ y de ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$. Entonces:

El lado derecho es el producto restringido, relativo a los subgrupos compactos y abiertos ${displaystyle K_{p}:=G_{mathbb {Z} _{p}}}$ de ${displaystyle G_{p}}$. Luego, el grupo localmente compacto ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$, si se equipa con la topología de producto restringida.

El grupo ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ es isomorfo a

y es un grupo localmente compacto con la topología del producto, ya que ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$ y ${displaystyle G_{mathbb {R} }}$ son ambos localmente compactos.

Sea

El subgrupo

es un subgrupo abierto máximo compacto de ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$ y puede considerarse como un subgrupo de ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$, cuando se tiene en cuenta la incorporación de ${displaystyle x_{ ext{fin}}mapsto (x_{ ext{fin}},1_{infty })}$.

Se define ${displaystyle Z_{mathbb {R} }}$ como el centro de ${displaystyle G_{infty }}$, lo que significa que ${displaystyle Z_{mathbb {R} }}$ es el grupo de todas las matrices diagonales de la forma ${displaystyle {egin{pmatrix}lambda &\&lambda \end{pmatrix}}}$, donde ${displaystyle lambda in mathbb {R} ^{ imes }}$. Se puede pensar en ${displaystyle Z_{mathbb {R} }}$ como un subgrupo de ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$, ya que se puede integrar el grupo por ${displaystyle zmapsto (1_{G_{ ext{fin}}},z)}$.

El grupo ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ está embebido diagonalmente en ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$, lo que es posible, ya que las cuatro entradas de un ${displaystyle xin G_{mathbb {Q} }}$ solo pueden tener una cantidad finita de divisores primos y, por lo tanto, ${displaystyle xin K_{p}}$ para todos, pero finitamente, muchos números primos ${displaystyle pin mathbb {N} }$.

Sea ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}}$ el grupo de todos los ${displaystyle xin G_{mathbb {A} }}$ con ${displaystyle |det(x)|=1}$ (véase anillo adele para una definición del valor absoluto de un idele). Se puede calcular fácilmente que ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ es un subgrupo de ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}}$.

Con la aplicación uno a uno ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}hookrightarrow G_{mathbb {A} }}$ se pueden identificar los grupos ${displaystyle G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1}}$ y ${displaystyle G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }}$ entre sí.

El grupo ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ es denso en ${displaystyle G_{ ext{fin}}}$ y discreto en ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$. El cociente ${displaystyle G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }=G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1}}$ no es compacto, pero tiene una medida de Haar finita.

Por lo tanto, ${displaystyle G_{mathbb {Q} }}$ es una red de ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1},}$ similar al caso clásico del grupo modular y ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {R} )}$. Por análisis armónico también se obtiene que ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}}$ es unimodular.

Ahora se desea incorporar las formas de Maass clásicas de cúspide de peso 0 para el grupo modular en ${displaystyle Z_{mathbb {R} }G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }}$. Esto se puede lograr con el "teorema de aproximación fuerte", que establece que la aplicación

es un homeomorfismo equivalente ${displaystyle G_{mathbb {R} }}$. Entonces se obtiene

y además

Las cúspides de Maass de peso 0 para el grupo modular pueden integrarse en

Por el teorema de aproximación fuerte, este espacio unitario es isomorfo a

que es un subespacio de ${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} }).}$

Del mismo modo, se pueden incorporar las formas de cúspide holomorfas clásicas. Con una pequeña generalización del teorema de aproximación, se pueden incorporar todas las formas de cúspide de Maass (así como las cúspides holomorfas) de cualquier peso para cualquier subgrupo de congruencia ${displaystyle Gamma }$ en ${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} })}$.

${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} })}$ recibe el nombre de espacio de las formas automorfas del grupo adele.

Sea un anillo en ${displaystyle R}$, y sea ${displaystyle N_{R}}$ el grupo de todos ${displaystyle {egin{pmatrix}1&r\&1\end{pmatrix}},}$ donde ${displaystyle rin R}$. Este grupo es isomorfo al grupo aditivo de R.

Se llama a una función ${displaystyle fin L^{2}(G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1})}$ forma cúspide, si

se cumple para casi todos los ${displaystyle xin G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1}}$. Sea ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}(G_{mathbb {Q} }ackslash G_{mathbb {A} }^{1})}$ (o simplemente ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$) el espacio vectorial de estas formas de cúspide. ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ es un subespacio cerrado de ${displaystyle L^{2}(G_{mathbb {Q} }Z_{mathbb {R} }ackslash G_{mathbb {A} })}$ y es invariable bajo la representación regular correcta de ${displaystyle G_{mathbb {A} }^{1}.}$

Es posible la descomposición de ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ en subespacios cerrados irreducibles.

Se tiene el siguiente teorema:

El espacio ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ se descompone en una suma directa de espacios de Hilbert irreducibles con multiplicidades finitas ${displaystyle N_{ ext{cusp}}(pi )in mathbb {N} _{0}}$:

El cálculo de estas multiplicidades ${displaystyle N_{ ext{cusp}}(pi )}$ es uno de los problemas más importantes y más difíciles en la teoría de las formas automorfas.

Una representación irreducible ${displaystyle pi }$ del grupo ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ se llama cuspidal, si es isomórfica a una subrepresentación de ${displaystyle L_{ ext{cusp}}^{2}}$ ist.

Una representación irreducible ${displaystyle pi }$ del grupo ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ se llama admisible si existe un subgrupo compacto ${displaystyle K}$ de ${displaystyle Ksubset G_{mathbb {A} }}$, de modo que ${displaystyle dim _{K}(V_{pi },V_{ au })<infty }$ para todos los ${displaystyle au in {widehat {G}}_{mathbb {A} }}$.

Se puede demostrar que toda representación cuspidal es admisible.

La admisibilidad es necesaria para probar el llamado Teorema de aplicación del producto tensorial (Tensorprodukt-Theorem anzuwenden), que dice que toda representación irreducible, unitaria y admisible del grupo ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$ es isomorfa a un producto tensorial infinito.

Los ${displaystyle pi _{p}}$ son representaciones irreducibles del grupo ${displaystyle G_{p}}$. Casi todos necesitan ser no ramificados.

(Una representación ${displaystyle pi _{p}}$ del grupo ${displaystyle G_{p}}$ ${displaystyle (p<infty )}$ se llama no ramificada, si el espacio vectorial

no es el espacio cero)

La construcción de un producto tensorial infinito se puede encontrar en Deitmar, C.7.

Sea ${displaystyle pi }$ una representación unitaria irreducible y admisible de ${displaystyle G_{mathbb {A} }}$. Según el teorema del producto tensorial, ${displaystyle pi }$ tiene la forma ${displaystyle pi =igotimes _{pleq infty }pi _{p}}$ (véase representaciones cuspidales del grupo adele).

Sea ${displaystyle S}$ un conjunto finito de lugares que contengan ${displaystyle infty }$ y todos los lugares ramificados. Se define la función global de Hecke de ${displaystyle pi }$ como

donde ${displaystyle L(s,pi _{p})}$ es una llamada función L local de la representación local ${displaystyle pi _{p}}$. Se puede encontrar una construcción de funciones L locales en Deitmar C. 8.2.

Si ${displaystyle pi }$ es una representación cúspide, la función L ${displaystyle L^{S}(s,pi )}$ tiene una continuación meromórfica en ${displaystyle mathbb {C} .}$. Esto es posible, ya que ${displaystyle L^{S}(s,pi )}$ satisface ciertas ecuaciones funcionales.

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