Función de Bessel

En matemáticas, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

(1)${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}+(x^{2}-alpha ^{2})y=0}$

donde ${displaystyle alpha }$ es un número real o complejo. El caso más común es cuando ${displaystyle alpha }$ es un entero ${displaystyle n}$, aunque la solución para ${displaystyle alpha }$ no entero es similar. El número ${displaystyle alpha }$ se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.

Aunque ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle -alpha }$ dan como resultado la misma función, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro ${displaystyle alpha }$ son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (${displaystyle alpha =n}$) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero (${displaystyle alpha =n+1/2}$), por ejemplo:

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesamiento de señales, generación del espectro de una señal en modulación de frecuencia y de fase en RF, ^[1]​propagación de ondas largas en ingeniería marítima y en problemas que tengan ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Las funciones de Bessel ordinarias de orden ${displaystyle alpha }$, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden ${displaystyle alpha }$ son soluciones de la ecuación de Bessel (1). La solución de tal ecuación se expresa así:^[2]​

${displaystyle y=A*J_{alpha }(x)+B*Y_{alpha }(x)}$

donde ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Por lo que se observa de la igualdad anterior, existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro ${displaystyle alpha }$, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

Las funciones de Bessel de primera especie y orden ${displaystyle alpha }$ son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (${displaystyle x=0}$) para no enteros no negativos ${displaystyle alpha }$ y divergen en el límite ${displaystyle x ightarrow 0}$ para ${displaystyle alpha }$ negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de ${displaystyle J_{alpha }(x)}$ están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Es posible definir la función ${displaystyle J_{alpha }(x)}$ por su expansión en serie de Taylor en torno a ${displaystyle x=0}$, la cual puede hallarse aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel:^[3]​

(2)${displaystyle J_{alpha }(x)=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{k!Gamma (k+alpha +1)}}{left({frac {x}{2}} ight)}^{2k+alpha }={frac {x^{alpha }}{2^{alpha }Gamma (alpha +1)}}left[1-{frac {x^{2}}{2(2alpha +2)}}+{frac {x^{4}}{2cdot 4(2alpha +2)(2alpha +4)}}-ldots ight]}$

${displaystyle Gamma (z)}$ es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos.

La ecuación (2) también se puede expresar en forma equivalente como:

(3)${displaystyle J_{alpha }(x)=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{k!(k+alpha )!}}{left({frac {x}{2}} ight)}^{2k+alpha }}$

siempre que el número ${displaystyle alpha }$sea entero. ^[2]​

En estas funciones se cumple que:

${displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x),quad forall nin mathbb {Z} }$

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie.

Las funciones de Bessel son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a ${displaystyle 1/{sqrt {x}}}$, como se muestra en el gráfico anexo en la forma asintótica de estas funciones, aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes valores de ${displaystyle x}$.

Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

${displaystyle J'_{0}(x)={frac {dJ_{0}(x)}{dx}}=-J_{1}(x)}$

Para valores enteros de ${displaystyle n}$, se tiene la siguiente representación integral:

Que también se puede escribir como:

Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definición dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:

También se tiene, para ${displaystyle alpha >-{frac {1}{2}}}$

Las funciones de Bessel son un caso especial de función hipergeométrica

Esta fórmula está relacionada con la expansión de las funciones de Bessel en función de la función de Bessel–Clifford.

Las funciones de Bessel pueden expandirse en serie de polinomios de Laguerre ${displaystyle L_{k}}$ para cualquier parámetro ${displaystyle t}$ arbitrario como^[5]​

Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$, son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel, Estas funciones divergen en el origen, es decir ${displaystyle x=0}$.

A estas funciones ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$ también se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber, y a veces se denotan por ${displaystyle N_{alpha }(x)}$. Para números ${displaystyle alpha }$no enteros, se definen a partir de las funciones de primera especie ${displaystyle J_{alpha }(x)}$ mediante la siguiente fórmula:

${displaystyle Y_{alpha }(x)={frac {J_{alpha }(x)cos(alpha pi )-J_{-alpha }(x)}{sin(alpha pi )}},quad forall alpha otin mathbb {Z} }$

En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el siguiente límite:

${displaystyle Y_{n}(x)=lim _{alpha o n}Y_{alpha }(x),quad forall nin mathbb {Z} }$

que proporciona el siguiente resultado en forma integral:

${displaystyle Y_{n}(x)={frac {1}{pi }}int _{0}^{pi }sin(xsin heta -n heta )d heta -{frac {1}{pi }}int _{0}^{infty }left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt} ight]e^{-xsinh t}dt}$

Para el caso en el que tengamos un ${displaystyle alpha }$ no entero, la definición de ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$ es redundante (como queda claro por su definición de arriba). Por otro lado, cuando ${displaystyle alpha }$ es entero, ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$ es la segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera especie, se cumple que:

${displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)forall nin mathbb {Z} }$

Ambas ${displaystyle J_{alpha }(x)}$ y ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$ son funciones holomorfas de ${displaystyle x}$ en el plano complejo cortado por el eje real negativo. Cuando ${displaystyle alpha }$es un entero, no hay puntos de ramificación, y las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Si fijamos x, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable ${displaystyle alpha }$.

Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel ${displaystyle H_{alpha }^{(1)}(x)}$ y ${displaystyle H_{alpha }^{(2)}(x)}$ así definidas:^[6]​

${displaystyle {egin{matrix}H_{alpha }^{(1)}(x)=J_{alpha }(x)+iY_{alpha }(x)\H_{alpha }^{(2)}(x)=J_{alpha }(x)-iY_{alpha }(x)end{matrix}}}$

donde ${displaystyle i}$ es la unidad imaginaria. Estas combinaciones lineales son también conocidas como las funciones de Bessel de tercera especie. Las funciones de Hankel de primera y segunda especie son usadas para representar las soluciones de ondas entrantes y salientes de una ecuación de ondas en simetrías cilíndricas respectivamente (o viceversa dependiendo de la convección de signo de la frecuencia). Estas funciones son así nombradas en honor de Hermann Hankel.

Usando la definición dada arriba, estas funciones se pueden escribir en función de las funciones de Bessel de primer orden ${displaystyle J_{alpha }(x)}$ así:

${displaystyle {egin{matrix}H_{alpha }^{(1)}(x)={cfrac {J_{-alpha }(x)-e^{-alpha pi i}J_{alpha }(x)}{isin(alpha pi )}}\H_{alpha }^{(2)}(x)={cfrac {J_{-alpha }(x)-e^{alpha pi i}J_{alpha }(x)}{-isin(alpha pi )}}end{matrix}}}$

Si α es un entero, se tiene que calcular de las expresiones de arriba así:

${displaystyle {egin{matrix}H_{n}^{(1)}(x)=lim _{alpha o n}H_{alpha }^{(1)}(x)forall nin mathbb {Z} ,\H_{n}^{(2)}(x)=lim _{alpha o n}H_{alpha }^{(2)}(x)forall nin mathbb {Z} ,end{matrix}}}$

La siguiente relación es válida para todo valor de α, sea entero o no:^[7]​

${displaystyle {egin{matrix}H_{-alpha }^{(1)}(x)=e^{alpha pi i}H_{alpha }^{(1)}(x)\H_{-alpha }^{(2)}(x)=e^{-alpha pi i}H_{alpha }^{(2)}(x)end{matrix}}}$

Existe una representación integral de las funciones de Hankel (útil para el cálculo de propagadores de la ecuación de Klein-Gordon):^[8]​

La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro ${displaystyle alpha }$ viene dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:

(2)${displaystyle {egin{cases}y(x)=AJ_{alpha }(x)+BJ_{-alpha }(x)&forall alpha otin mathbb {Z} \y(x)=AJ_{alpha }(x)+BY_{alpha }(x)&forall alpha in mathbb {Z} \y(x)=AJ_{alpha }(x)+BJ_{alpha }(x)int {cfrac {dx}{xJ_{alpha }^{2}(x)}}&forall alpha in mathbb {R} \y(x)=AH_{alpha }^{(1)}(x)+BH_{alpha }^{(2)}(x)&forall alpha in mathbb {R} end{cases}}}$

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Las funciones de Bessel ordinarias son válidas para valores complejos del argumento x, y un caso especialmente importante es aquel con argumento imaginario puro. En este caso, la ecuación de Bessel se transforma en la ecuación de Bessel modificada^[9]​

(3)${displaystyle x^{2}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{frac {dy}{dx}}-(x^{2}+alpha ^{2})y=0,}$

y sus dos soluciones linealmente independientes son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo: I_α(x) y K_α(x) respectivamente.^[10]​

Las funciones de Bessel modificadas de primera especie y orden ${displaystyle alpha }$ vienen dadas por:

${displaystyle I_{alpha }(x)=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!Gamma (k+alpha +1)}}left({frac {x}{2}} ight)^{2k+alpha }={frac {x^{alpha }}{2^{alpha }Gamma (alpha +1)}}left[1+{frac {x^{2}}{2(2alpha +2)}}+{frac {x^{4}}{2cdot 4(2alpha +2)(2alpha +4)}}+ldots ight]}$

Están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la siguiente igualdad:

${displaystyle I_{alpha }(x)=i^{-alpha }J_{alpha }(ix)=e^{-alpha pi i/2}J_{alpha }(ix);}$.

Casos particulares:

${displaystyle I'_{0}(x)={frac {dI_{0}(x)}{dx}}=I_{1}(x)}$

Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie y orden ${displaystyle alpha }$ se definen a partir de las funciones modificadas de primera especie para órdenes no enteros mediante las siguiente fórmula:

${displaystyle K_{alpha }(x)={frac {pi }{2}}{frac {I_{-alpha }(x)-I_{alpha }(x)}{sin(alpha pi )}}forall alpha otin mathbb {Z} }$

Para los casos en los que ${displaystyle alpha }$ sea entero (${displaystyle alpha =nin mathbb {Z} }$), tenemos que tomar el límite del orden no entero al entero así:

${displaystyle K_{n}(x)=lim _{p ightarrow n}K_{p}(x)=lim _{p ightarrow n}{frac {pi }{2}}{frac {I_{-p}(x)-I_{p}(x)}{sin(ppi )}}forall nin mathbb {Z} }$

Además se puede escribir esta función a partir de la función de Hankel de primera especie así:

Existen varias representaciones integrales de estas funciones. La siguiente de K_α (x) es útil para el cálculo del propagador de Feynman en Teoría Cuántica de Campos:

Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie han sido también llamadas:

Al contrario que las funciones de Bessel ordinarias, J_α y Y_α, las cuales son funciones oscilatorias para argumentos reales, las funciones de Bessel modificadas, I_α y K_α, son exponencialmente creciente y decreciente respectivamente. Como la función de Bessel ordinaria J_α, la función I_α va a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0. Análogamente, K_α diverge en x = 0.

La solución general de la ecuación diferencial de Bessel modificada con parámetro ${displaystyle alpha }$ viene dada por:

(4)${displaystyle {egin{cases}y(x)=AI_{alpha }(x)+BI_{-alpha }(x)&alpha otin mathbb {Z} \y(x)=AI_{alpha }(x)+BK_{alpha }(x)&forall alpha in mathbb {R} \y(x)=AI_{alpha }(x)+BI_{alpha }(x)int {cfrac {dx}{xI_{alpha }^{2}(x)}}&forall alpha in mathbb {R} end{cases}}}$

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Cuando se soluciona la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma:

Donde n es un entero positivo. Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel ${displaystyle j_{n}(x)}$ y ${displaystyle y_{n}(x)}$, y están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias ${displaystyle J_{n}(x)}$ y ${displaystyle Y_{n}(x)}$ por:^[12]​

${displaystyle y_{n}}$ se escribe también como ${displaystyle n_{n}}$ o ${displaystyle eta _{n}}$. A esta función a veces se le llama función esférica de Neumann.

Las funciones esféricas de Bessel se pueden obtener a partir de las siguientes fórmulas:

La función de Bessel esférica ${displaystyle j_{0}(x)}$ es la Función sinc desnormalizada.

Para n = 0,1 y 2 tenemos:^[13]​

La fórmula general es:

Las funciones esféricas de Hankel se definen de forma análoga a las no esféricas:

De hecho, esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de Bessel de orden semientero en término de funciones trigonométricas y, por tanto, también de las funciones esféricas de Bessel. De esto se deduce que, para n entero no negativo se tiene:

y ${displaystyle h_{n}^{(2)}}$ es la función compleja conjugada de esta (para ${displaystyle x}$ real). De esta fórmula se pueden deducir las formas cerradas de las funciones esféricas de Bessel ordinarias, por ejemplo, ${displaystyle j_{0}(x)=sin(x)/x}$ y ${displaystyle y_{0}(x)=-cos(x)/x}$, y así para cualquier argumento n.

También existen análogos esféricos de las funciones de Bessel modificadas:

${displaystyle i_{n}(x)={sqrt {frac {pi }{2x}}}I_{n+1/2}(x)=i^{-n}j_{n}(ix);}$.

${displaystyle k_{n}(x)={sqrt {frac {pi }{2x}}}K_{n+1/2}(x)={frac {pi }{2}}i^{n}h_{n}^{(1)}(ix)!}$

${displaystyle k_{n}(x)}$ se pueden escribir de forma cerrada, usando la fórmula de ${displaystyle h_{n}^{(1)}(x)}$ dada arriba como:

Se pueden obtener las funciones de Bessel esféricas a partir de las siguientes funciones generatrices:^[15]​

La siguiente relación diferencial se cumple para ${displaystyle f_{n}(z)={j_{n}(z),y_{n}(z),h_{n}^{(1)}(z),h_{n}^{(2)}(z)},forall nin mathbb {Z} }$

Las funciones de Riccati-Bessel son una pequeña modificación de las funciones de Bessel esféricas:

Estas funciones satisfacen la siguiente ecuación diferencial:

Esta ecuación diferencial y sus soluciones, las ecuaciones de Riccati-Bessel, se usan para resolver el problema de scattering de ondas electromagnéticas por una esfera, problema conocido como scattering de Mie tras la publicación por vez primera de estos resultados por Mie en 1908. Véase por ejemplo, Du (2004).^[16]​

Según Debye (1909) se usa a veces la notación ${displaystyle psi _{n},chi _{n}}$ en vez de ${displaystyle S_{n},C_{n}}$.

Las funciones de Bessel tienen las siguientes expansiones asintóticas para α no negativos. Para pequeño argumento ${displaystyle 0<xll {sqrt {alpha +1}}}$, se tiene:^[17]​

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y ${displaystyle Gamma (x)}$ es la función Gamma de Euler. Como aproximación asintótica al infinito, (cuando tenemos un argumento tal que verifica ${displaystyle xgg |alpha ^{2}-1/4|}$), se obtienen las siguientes aproximaciones:^[17]​

Para α=1/2 estas fórmulas son exactas. Las expansiones asintóticas del resto de funciones de Bessel se obtienen a partir de las mostradas arriba y de sus relaciones con las funciones de Bessel de primera especie. Así, las aproximaciones asintóticas al infinito de las funciones de Bessel modificadas (es decir, para argumentos x que verifiquen ${displaystyle xgg |alpha ^{2}-1/4|}$) se tiene:

Mientras que el límite de muy bajo argumento, ${displaystyle 0<xll {sqrt {alpha +1}}}$, se obtiene:

Para enteros de orden α = n, ${displaystyle J_{n}(x)}$ se puede definir a partir de la serie de Laurent de la siguiente función generatriz:

aproximación tomada por P. A. Hansen en 1843. Esta expresión puede generalizarse a órdenes no enteros usando integración de contorno u otros métodos. Otra expresión importante para órdenes enteros es la identidad de Jacobi-Anger:

identidad que es usada para expandir ondas planas en una serie infinita de ondas cilíndricas o para encontrar la serie de Fourier de un tono de una señal de FM.

Más generalmente, una función ƒ se puede expandir en una serie de la forma

que se denomina expansión de Neumann de ƒ. Los coeficientes de esta serie en el caso ${displaystyle u =0}$ tienen la siguiente forma explícita

donde ${displaystyle O_{k}}$ son los polinomios de Neumann.^[18]​

Existen funciones que admiten la siguiente representación especial

con

debido a la relación de ortogonalidad

${displaystyle int _{0}^{infty }J_{alpha }(z)J_{eta }(z){frac {mathrm {d} z}{z}}={frac {2}{pi }}{frac {sin left({frac {pi }{2}}(alpha -eta ) ight)}{alpha ^{2}-eta ^{2}}}.}$

Más generalmente, si f tiene un punto de ramificación donde ${displaystyle f(z)=sum _{k=0}a_{k}J_{ u +k}(z),}$

entonces

o

donde ${displaystyle {mathcal {L}}{f}}$ es la transformada de Laplace de ƒ.^[19]​

Otra manera de definir las funciones de Bessel son la representación de Poisson y la fórmula de Mehler-Sonine:

donde ν > −1/2 y z es un número complejo.^[20]​ Esta fórmula es especialmente útil cuando se trabaja con transformadas de Fourier.

Las funciones ${displaystyle J_{alpha }(x)}$, ${displaystyle Y_{alpha }(x)}$, ${displaystyle H_{alpha }^{(1)}(x)}$ y ${displaystyle H_{alpha }^{(2)}(x)}$ cumplen las siguientes relaciones de recurrencia:

Donde Z denota J, Y, H⁽¹⁾, o H⁽²⁾.

Estas dos identidades se suelen combinar para obtener otras relaciones distintas. Por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de mayores órdenes (o mayores derivadas) a partir de funciones de Bessel de menor orden o de derivadas de menor orden. En particular, se cumple:

Las funciones modificadas de Bessel cumplen relaciones similares:

Las relaciones de recurrencia serán en este caso:

donde ${displaystyle C_{alpha }}$ denotará a ${displaystyle I_{alpha }}$ o a ${displaystyle e^{alpha pi i}K_{alpha }}$. Estas relaciones son útiles para problemas de difusión discreta.

La división de la ecuación de Bessel por x es una ecuación hermítica o auto-adjunta, por lo que sus soluciones deben cumplir determinadas relaciones de ortogonalidad para unas condiciones de contorno adecuadas. En particular, se cumple:

donde ${displaystyle alpha >-1}$, ${displaystyle delta _{n,m}}$ es la delta de Kronecker, y ${displaystyle u_{alpha ,m}}$ es el m-ésimo cero de ${displaystyle J_{alpha }(x)}$. Esta relación de ortogonalidad puede ser usada para extraer coeficientes de las series de Fourier-Bessel, donde una función se expande en una base de funciones de Bessel ${displaystyle J_{alpha }(xu_{alpha ,m})}$ para α fijo y m variable. (Obtener una relación análoga para funciones de Bessel esféricas es trivial.)

Se puede obtener de forma inmediata una relación análoga para funciones de Bessel esféricas:

Otra relación de ortogonalidad es la ecuación de cierre:

para ${displaystyle alpha >-1/2}$ y siendo ${displaystyle delta (x)}$ la función delta de Dirac. Esta propiedad se usa para construir expansiones de funciones arbitrarias como series de funciones de Bessel mediante la transformada de Hankel.

Para funciones de Bessel esféricas, la relación de cierre es:

para ${displaystyle alpha >-1}$. Otra propiedad importante de la ecuación de Bessel, que se deriva de la identidad de Abel, es el Wronskiano de las soluciones:

donde ${displaystyle A_{alpha }}$ y ${displaystyle B_{alpha }}$ son dos soluciones cualesquiera independientes de la ecuación de Bessel y ${displaystyle C_{alpha }}$ es una constante independiente de x (que depende de α y de las funciones de Bessel consideradas). Por ejemplo, se cumple:

Existe un gran número de integrales e identidades que involucran a funciones de Bessel que no están aquí reproducidas, pero que se pueden encontrar en las referencias.

Las funciones de Bessel verifican un teorema del producto

donde ${displaystyle lambda }$ y ${displaystyle u }$ son números complejos cualesquiera. Una fórmula similar se cumple para ${displaystyle Y_{ u }(z)}$ y el resto de funciones de Bessel^[21]​ ^[22]​

Bessel demostró que, para n no negativos, la ecuación

tiene un número infinito de soluciones en x.^[23]​ Cuando las funciones ${displaystyle J_{n}(x)}$ se representan en la misma gráfica, ninguno de los diferentes ceros de cada función ${displaystyle J_{n}(x)}$ parece coincidir, excepto el cero situado en ${displaystyle x=0}$. Este fenómeno se conoce como hipótesis de Bourget, en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel.

La hipótesis dice que, para cualesquier enteros ${displaystyle ngeq 0}$ y ${displaystyle m>0}$, las funciones ${displaystyle J_{n}(x)}$ y ${displaystyle J_{n+m}(x)}$ no tienen ceros comunes, a excepción del cero en el origen ${displaystyle x=0}$. Esta hipótesis fue demostrada por Siegel en 1929.^[24]​

Las siguientes fórmulas pueden encontrarse en.^[25]​

Para ${displaystyle y_{p}(alpha x)={J_{p}(alpha x),Y_{p}(alpha x),I_{p}(alpha x),H_{p}^{(1)}(alpha x),H_{p}^{(2)}(alpha x)}}$

Mientras que para ${displaystyle y_{p}(alpha x)=K_{p}(alpha x)}$, se tiene

Para ${displaystyle y_{p}(alpha x)={J_{p}(alpha x),Y_{p}(alpha x),K_{p}(alpha x),H_{p}^{(1)}(alpha x),H_{p}^{(2)}(alpha x)}}$

Mientras que para ${displaystyle y_{p}(alpha x)=I_{p}(alpha x)}$, se tiene

Para ${displaystyle y_{p}(alpha x)={J_{p}(alpha x),Y_{p}(alpha x),H_{p}^{(1)}(alpha x),H_{p}^{(2)}(alpha x)}}$, se cumplen las siguientes relaciones:

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