En matemáticas, un grupo discreto es un grupo G, provisto con una topología discreta. Con esta topología G se convierte en un grupo topológico. Un subgrupo discreto de un grupo topológico G es un subgrupo H, cuya topología relativa es discreta. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, Z, forman un subgrupo discreto de los reales, R (con la topología métrica estándar), pero el conjunto de los números racionales, Q, no es un subgrupo discreto de R.
Cualquier grupo puede tener topología discreta. Ya que todo mapeo de un espacio discreto es continuo, los homomorfismos topológicos entre grupos distintos son exactamente los homomorfismos de grupos entre los grupos de base. Por lo tanto, hay un isomorfismo entre la categoría de grupos y la categoría de grupos discretos. Los grupos discretos por lo tanto, se pueden identificar con grupos subyacentes (no topológicos). Teniendo esto en mente, el término teoría de grupos discretos se utiliza para referirse al estudio de los grupos sin estructura topológica, en contraposición a la teoría de grupos topológicos o grupos de Lie. Están divididos, desde un punto de vista lógico y técnico, en teoría de grupos finitos y teoría de grupos infinitos.
Hay algunas ocasiones en que un grupo topológico o grupo de Lie está provechosamente dotado de la topología discreta, "contra natura". Esto sucede por ejemplo en la teoría de la compactación de Bohr y en la teoría de cohomología de grupos de los grupos de Lie.
Ya que los grupos topológicos son homogéneos, solo es necesario mirar a un solo punto para determinar si el grupo topológico es discreto. En particular, un grupo topológico es discreto si y solo si el conjunto unitario que contiene la identidad es un conjunto abierto.
Un grupo discreto es lo mismo que un grupo de Lie cero-dimensional (los grupos discretos incontables no son segundo numerables así que los autores que requieren que los grupos de Lie satisfagan este axioma no consideran a estos grupos como grupos de Lie). El componente de identidad de un grupo discreto es el subgrupo trivial, mientras que el grupo de componentes es isomorfo con el propio grupo.
Puesto que la única topología de Hausdorff en un conjunto finito es la discreta, un grupo topológico de Hausdorff finito necesariamente debe ser discreto. De ello se desprende que todos los subgrupos finitos de un grupo de Hausdorff son discretos.
Un subgrupo discreto H de G es cocompacto si hay un subconjunto compacto K de G de tal manera que HK=G.
Los subgrupos discretos juegan un papel importante en la teoría de los grupos recubridores y los grupos localmente isomorfos. Un subgrupo discreto normal de un grupo conectado G necesariamente se encuentra en el centro de G y por lo tanto es abeliano.
Otras propiedades:
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