Frontera (topología)

Dado un espacio topológico ${displaystyle X}$ y ${displaystyle S}$ un subconjunto de ${displaystyle X}$, se define la frontera de ${displaystyle S}$ como la intersección de la clausura de ${displaystyle S}$ con la clausura del complemento de ${displaystyle S}$, y se denota por ${displaystyle partial S}$. En otras palabras:

${displaystyle partial S:={overline {S}}cap {overline {Xsmallsetminus S}}}$

Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente:

${displaystyle partial S={overline {S}}smallsetminus {mbox{int}}(S)}$

Donde: ${displaystyle {mbox{int}}(S),}$ denota el interior de ${displaystyle S,}$.

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto ${displaystyle S}$ es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en ${displaystyle S}$ como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado.

Sea ${displaystyle X}$ el conjunto de los reales, con la topología usual, entonces:

En el plano ℝ² la frontera del círculo ${displaystyle C(H,r)={Pin mathbb {R} ^{2}|d(H,P)leq r}}$ es la circunferencia de radio r y centro en H, con la topología usual.

En ℝ³:

De lo que se deduce que:

Dado un conjunto abierto y acotado ${displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}}$ y una aplicación continua ${displaystyle fin C^{0}({ar {Omega }},mathbb {R} ^{n})}$ que es inyectiva sobre ${displaystyle Omega }$. Entonces se cumple:

La prueba del teorema anterior puede darse en términos de topología elemental y es relativamente breve. Si además se cumple ${displaystyle {mbox{int}} {ar {Omega }}=Omega }$ y la función continua es inyectiva sobre el compacto ${displaystyle {ar {Omega }}}$ entonces las dos inclusiones anteriores se convierten en igualdades:

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