Acotado

El concepto de acotado aparece en matemáticas para referirse a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.

Dado un conjunto A y una relación binaria ${displaystyle precsim }$ definida entre los elementos de A, que expresaremos ${displaystyle (A,precsim )}$ y la relación se representa:

que se lee: x antecede a y.

La no relación se representa:

Dado el conjunto A formado por los elementos:

Dado el conjunto A formado por los elementos:

Dado un conjunto A, entre cuyos elementos, se ha definido una relación binaria que define un orden parcial, definido en las siguientes figuras, se pueden ver los distintos casos para determinar los maximales, minimales, máximos y mínimos de cada caso en caso de existir: ----

Dado un conjunto A y una relación binaria ${displaystyle precsim }$ definida entre los elementos de A, que expresaremos ${displaystyle (A,precsim )}$ y la relación se representa:

que se lee: x antecede a y.

Si la relación ${displaystyle (A,precsim )}$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:

todos los elementos de un conjunto con orden total son comparables.

Dado el conjunto A formado por los elementos:

en el que se ha definido una relación binaria ${displaystyle precsim }$ representada en la figura, siendo ${displaystyle (A,precsim )}$ un conjunto totalmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:

se denomina máximo y define una cota superior en A, el elemento máximo es únicos, en el ejemplo g es el máximo de A.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

se denomina mínimo y define una cota inferior en A, el elemento mínimo es únicos, en el ejemplo a mínimo de A.

Dado el conjunto N de los números naturales y una relación binaria menor o igual: ${displaystyle leq }$ definida entre los números naturales, que expresaremos ${displaystyle (N,leq )}$ y la relación se representa:

que se lee: a es menor o igual que b.

La relación ${displaystyle (N,leq )}$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:

para todo: a, b número natural: a es menor o igual que b o b es menor o igual que a, todos los números naturales son comparables.

Dado el conjunto N formado por los elementos:

en el que se ha definido una relación binaria ${displaystyle leq }$ representada en la figura, siendo ${displaystyle (N,leq )}$ un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento y de N que cumple:

Este elemento sería el máximo en N y definiría una cota superior en N, el conjunto de los números naturales no tiene cota superior.

El elemento z de N que cumple:

se denomina mínimo y define una cota inferior en N, el elemento mínimo es único, el cero:0 es el mínimo de N.

Dado el conjunto Z de los números enteros y una relación binaria menor o igual: ${displaystyle leq }$ definida entre los números enteros, que expresaremos ${displaystyle (Z,leq )}$ y la relación se representa:

que se lee: a es menor o igual que b.

La relación ${displaystyle (Z,leq )}$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total.

Se cumple que:

para todo: a, b número entero: a es menor o igual que b o b es menor o igual que a, todos los números enteros son comparables.

Dado el conjunto Z formado por los elementos:

en el que se ha definido una relación binaria ${displaystyle leq }$ representada en la figura, siendo ${displaystyle (Z,leq )}$ un conjunto totalmente ordenado.

No existe el elemento y de Z que cumple:

Este elemento sería el máximo en Z y definiría una cota superior en Z, el conjunto de los números enteros no tiene cota superior.

No existe el elemento z de Z que cumple:

Este elemento sería mínimo y definiría una cota inferior en Z, el conjunto de los números enteros no tiene cota inferior respecto a la relación binaria: ${displaystyle leq }$.

Partiendo de un conjunto:

en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria: ${displaystyle precsim }$ que representamos ${displaystyle (A,precsim )}$ y la relación entre elementos:

que se lee: x antecede a y.

Que cumple las propiedades: reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que se define en el conjunto, respecto a la relación binaria, un orden parcial. Siendo B un subconjunto de A:

se puede determinar si B está acotado según los siguientes conceptos:^[1]​

Dado un conjunto A:

en el que se ha dedinidi una relación binaria ${displaystyle precsim }$ entre los elementos de A que define un orden parcial, y siendo B en subconjunto de A, definido:

Podemos ver una galería de ejemplo, que permiten discernir: mayorante, supremo y mayor así como: minorante, ínfimo y menor.

Dado un conjunto ${displaystyle A,}$:

en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria: ${displaystyle precsim }$ que representamos ${displaystyle (A,precsim )}$ y la relación entre elementos:

que se lee: x antecede a y.

Que cumple las propiedades: reflexiva, antisimetrica, transitiva y total, por lo que se define en el conjunto, respecto a la relación binaria, un orden total.

Siendo B:

un subconjunto de A, se puede determinar en B: mayorantes, supremo y mayor, así como: minorantes, ínfimo y menor:

Dado el conjunto Z de los enteros y una relación binaria menor o igual: ${displaystyle leq }$ definida entre los enteros, que expresaremos ${displaystyle (Z,leq )}$ y la relación se representa:

que se lee: siendo x, y números enteros: x es menor o igual que y.

La relación ${displaystyle (Z,leq )}$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, es por lo tanto es un conjunto con orden total. Todos los números enteros son comparables respecto a ${displaystyle leq }$.

Dado un subconjunto de Z:

podemos ver que:

Dado el conjunto R de los números reales y una relación binaria menor o igual: ${displaystyle leq }$ definida entre los reales que expresaremos ${displaystyle (R,leq )}$ y la relación se representa:

y se lee: siendo x, y números reales: x es menor o igual que y.

La relación ${displaystyle (R,leq )}$ cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica, transitiva y total, que define un conjunto con orden total. Todos los números reales son comparables respecto a ${displaystyle leq }$.

Considerando un intervalo un subconjunto conexo de los números real, es decir, una parte de recta entre dos valores dados.^[2]​

Dado el intervalo cerrado de números reales:

que se define:

Se puede ver que:

Dado el intervalo abierto de números reales:

que se define:

Se puede ver que:

Dado el intervalo abierto de números reales:

que se define:

Se puede ver que:

Sean M un espacio métrico y A un subconjunto de M. Se dice que A está acotado si existe algún disco cerrado que lo contenga.

Sean A un subconjunto de números reales y M un número real positivo. Se dice que A es acotado si existe un M tal que para todo x ∈ A se verifica que |x| es menor o igual que M.

Un conjunto ${displaystyle scriptstyle A}$ completamente ordenado está acotado superiormente si existe un elemento ${displaystyle scriptstyle y}$ que sea mayor que cualquier elemento del conjunto, es decir:

(*)${displaystyle A {mbox{acotado superiormente}}iff exists y:forall xin A: (xleq y)}$

Nótese que con esta definición puede ser que ${displaystyle scriptstyle y otin A}$ o que ${displaystyle scriptstyle yin A}$. A cualquier número ${displaystyle scriptstyle y}$ que satisfaga (*) se le llama cota superior.

Si un conjunto está acotado superiormente en general existirá más de una cota superior, denotando al conjunto de cotas superiores de ${displaystyle scriptstyle A}$ como ${displaystyle scriptstyle CS_{A}}$ se define el supremo de ${displaystyle scriptstyle A}$ como el mínimo de este conjunto:

${displaystyle sup A=min CS_{A}}$

Si ${displaystyle scriptstyle Asubset mathbb {R} }$ está acotado entonces tiene un supremo. Si resulta que ${displaystyle scriptstyle sup Ain A}$ entonces el supremo resulta además ser un máximo del conjunto ${displaystyle scriptstyle A}$.

Sea A un subconjunto no vacío de números reales, se dice que A es acotado inferiormente si existe k que pertenece a los reales tal que k < x o k = x para todo x que pertenece a A. El número k se denomina cota inferior para A pues los números menores que k también son cotas inferiores, lo cual indica que el conjunto de todas las cotas inferiores de A es infinito.

El ínfimo de un conjunto A es el máximo de las cotas inferiores de dicho conjunto.

${displaystyle Inf A=max CI_{A}}$

Una función matemática f se llama función acotada en un dominio D (conjunto abierto conexo no vacío) cuando el conjunto imagen o recorrido de la función es un conjunto acotado, es decir, cuando la función solo existe para un intervalo numérico determinado. Por esta misma razón si una función solo existe en un intervalo numérico concreto se le llama "función acotada" ya que su resultado está limitado (acotado) a unos valores numéricos concretos que son finitos . Por ejemplo, las funciones trigonométricas ${displaystyle sin x}$ y ${displaystyle cos x}$, para las cuales ${displaystyle f(D)=[-1,+1],}$, son funciones acotadas ya que todos sus posibles resultados están contenidos en un intervalo numérico acotado, en este caso el intervalo cerrado [-1,1].

Dada una función ${displaystyle f(x)}$, se dice que tiene una cota superior o que está acotada superiormente si existe un valor ${displaystyle K}$ tal que ${displaystyle f(x)leq K}$ para cualquier valor de x perteneciente al dominio D. K se llama cota superior de ${displaystyle f(x)}$ en D.

Dicho formalmente: ${displaystyle f(x)}$ es acotada superiormente si ${displaystyle exists Kin mathbb {R} / f(x)leq K forall xin D}$.

Dada una función ${displaystyle f(x)}$, se dice que tiene una cota inferior o que está acotada inferiormente si existe un valor K tal que ${displaystyle f(x)geq K}$ para cualquier valor de x perteneciente al dominio D. K se llama cota inferior de ${displaystyle f(x)}$ en D.

En un espacio de Hilbert (o un espacio de Banach) un operador acotado es aquel que tiene una norma máxima definida sobre la bola unidad. Por tanto para un operador acotado se cumple que:

${displaystyle exists Kin mathbb {R} :max _{|v|=1}|B(v)|leq K}$

Algunos operadores importantes de la mecánica cuántica como el hamiltoniano suelen ser no acotados, lo cual tiene cierta significación física ya que en general la mayoría de sistemas físicos no tienen un límite superior de la energía que pueden contener.

En un croquis, se llama segmento acotado aquel que está limitado por ambos extremos con sus dimensiones indicadas.

Representación de un objeto en un plano horizontal o vertical con indicación de las dimensiones del objeto.

En matemáticas el término no acotado se refiere a alguna entidad matemática infinita o para la cual no es posible establecer una cota máxima para alguna de sus propiedades o medidas.

Dentro de un espacio métrico (E, d) un conjunto no acotado es un conjunto infinito tal que tiene puntos situados a distancia infinita, es decir, no existe ningún valor ${displaystyle Cin mathbb {R} }$ tal que:

${displaystyle d(P,Q)<Cqquad {mbox{para todo}} P,Qin E}$

Alternativamente un conjunto no acotado es aquel que no cabe dentro de ninguna bola de radio finito de dicho espacio métrico.

Fijado un espacio vectorial normado, un operador A se dice no acotado o discontinuo si no existe ${displaystyle Cin mathbb {R} }$ tal que:

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