Función afín

En geometría analítica y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, una función de una variable (normalmente esta variable se denota con ${displaystyle x}$), que puede ser escrita como la suma de términos de la forma ${displaystyle ax^{n}}$(donde ${displaystyle a}$ es un número real y ${displaystyle n}$ es un número natural) donde ${displaystyle nin {0,1}}$; es decir, ${displaystyle n}$ solo puede ser 0 o 1. Se le llama lineal dado que su representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde ${displaystyle m}$ y ${displaystyle b}$ son constantes reales y ${displaystyle x}$ es una variable real. La constante ${displaystyle m}$ determina la pendiente o inclinación (/) de la recta, y la constante ${displaystyle b}$ determina el punto de corte de la recta con el eje vertical ${displaystyle y.}$

En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde ${displaystyle b=0}$, de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Una función lineal de una única variable dependiente ${displaystyle x}$ es de la forma:

que se conoce como ecuación de la recta en el plano ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro ${displaystyle m}$ es igual a ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ (corresponde al valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos ${displaystyle x}$ en una unidad entonces ${displaystyle y}$ aumenta en ${displaystyle {frac {1}{2}}}$ unidad, el valor de ${displaystyle b}$ es 2, luego la recta corta el eje ${displaystyle y}$ en el punto ${displaystyle y=2}$.

En la ecuación:

la pendiente de la recta es el eje ${displaystyle m=-1}$, es decir, cuando el valor de ${displaystyle x}$ aumenta en una unidad, el valor de ${displaystyle y}$ disminuye en una unidad; el corte con el eje ${displaystyle y}$ es en ${displaystyle y=5}$, dado que el valor de ${displaystyle b=5}$.

En una recta el valor de ${displaystyle m}$ corresponde a la tangente del ángulo ${displaystyle heta }$ de inclinación de la recta con el eje de las abscisas (eje ${displaystyle x}$) a través de la expresión:

Las funciones lineales de diversas variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

Representa un plano y una función

Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n + 1)-dimensional.