Función homogéneas

En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).

Supongamos una función cuya definición es ${displaystyle f:V ightarrow W}$ entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ${displaystyle F}$. Entonces se dice que ${displaystyle f,}$ es homogénea de grado k si:

${displaystyle f(alpha mathbf {v} )=alpha ^{k}f(mathbf {v} ),qquad forall alpha in Fsetminus {0},quad forall mathbf {v} in V}$

Cualquier función lineal ${displaystyle f:V ightarrow W,}$ es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

${displaystyle f(alpha mathbf {v} )=alpha f(mathbf {v} )}$

para todo ${displaystyle alpha in F}$ y ${displaystyle mathbf {v} in V}$. Del mismo modo, cualquier función multilineal ${displaystyle f:V_{1} imes ldots imes V_{n} ightarrow W}$ es homogénea de grado n, por definición.

${displaystyle f(alpha mathbf {v} _{1},ldots ,alpha mathbf {v} _{n})=alpha ^{n}f(mathbf {v} _{1},ldots ,mathbf {v} _{n})}$

para todo ${displaystyle alpha in F}$ y ${displaystyle mathbf {v} _{1}in V_{1},ldots ,mathbf {v} _{n}in V_{n}}$. Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función ${displaystyle f:X ightarrow Y}$ entre dos espacios de Banach ${displaystyle X,}$ y ${displaystyle Y,}$ es homogénea de grado ${displaystyle n,}$.

Los monomios de ${displaystyle n}$ variables reales definen funciones homogéneas${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} ightarrow mathbb {R} }$. Por ejemplo,

${displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3},}$

es homogénea de grado 10 puesto que:

${displaystyle f(alpha x,alpha y,alpha z)=(alpha x)^{5}(alpha y)^{2}(alpha z)^{3}=alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=alpha ^{10}f(x,y,z),}$

Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,

${displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4},}$

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Supongamos que una función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} ightarrow mathbb {R} }$ es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:

${displaystyle mathbf {x} cdot abla f(mathbf {x} )=kf(mathbf {x} )}$.

${displaystyle {frac {partial }{partial x_{i}}}f(alpha mathbf {x} )=alpha ^{k-1}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} )}$

Éste resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.

Por homogeneidad de la función${displaystyle f}$ se sabe que

${displaystyle f(alpha mathbf {x} )=alpha ^{k}f(mathbf {x} )}$

Se define ${displaystyle mathbf {y} in mathbf {R} ^{n}}$ como ${displaystyle y=alpha x}$. Reemplazando la ${displaystyle mathbf {y} }$ en la expresión anterior nos queda:

${displaystyle f(mathbf {y} )=alpha ^{k}f(mathbf {x} )}$

Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a ${displaystyle x_{i},}$

${displaystyle {frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {y} )={frac {partial }{partial x_{i}}}alpha ^{k}f(mathbf {x} )}$

por regla de la cadena la expresión se vuelve:

${displaystyle {frac {partial }{partial y_{i}}}f(mathbf {y} ){frac {partial y_{i}}{partial x_{i}}}=alpha ^{k}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} )}$

Sustituyendo nuevamente ${displaystyle y=alpha x}$:

${displaystyle {frac {partial }{partial y_{i}}}f(mathbf {alpha x} ){frac {partial (alpha x_{i})}{partial x_{i}}}=alpha ^{k}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} )}$

${displaystyle {frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {alpha x} )alpha =alpha ^{k}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} )}$

y finalmente da el resultado que se quiere obtener:

${displaystyle {frac {partial }{partial x_{i}}}f(alpha mathbf {x} )=alpha ^{k-1}{frac {partial }{partial x_{i}}}f(mathbf {x} )}$

La substitución ${displaystyle v=y/x}$ convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

${displaystyle I(x,y){frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$

Donde ${displaystyle I,}$ y ${displaystyle J,}$ son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

${displaystyle x{frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} x}}=-{frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}$