Subconjunto propio

En las matemáticas, un conjunto B es subconjunto de un conjunto A si B «está contenido» dentro de A.

La diferencia entre los conjuntos es formado por elementos que pertenecen a uno y a los otros no.
Otras maneras de decirlo son «B está incluido en A», «A incluye a B», etc.

Ejemplos.

Es cierto que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema:

Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.

Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B.

Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B.
(A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A)

Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios.

También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.^[1]​

La totalidad de los subconjuntos de un conjunto dado A constituye el llamado conjunto potencia o conjunto partes de A:

El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A:

Cuando el conjunto A tiene un número finito de elementos, por ejemplo |A| = n, el conjunto potencia también es finito y tiene 2ⁿ elementos.

Ejemplo. Dado el conjunto A = {a, b}, su conjunto potencia es:

El conjunto vacío, denotado como ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.

Esto es debido a que «todo elemento de ∅ lo es de A» significa lo mismo que «∅ no tiene ningún elemento que esté en A», y esto es cierto sea cual sea A ya que ∅ no tiene elementos.

Si cada elemento de un conjunto A lo es de otro conjunto B, y cada elemento de B a su vez lo es de otro conjunto C, entonces cada miembro de A pertenece también a C, o sea:

Dados tres conjuntos A, B y C, si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Además, si dos conjuntos son subconjuntos el uno del otro, entonces todos los miembros de uno lo son del otro y viceversa. Entonces, ambos conjuntos poseen los mismos elementos, y los conjuntos quedan definidos únicamente por sus elementos, luego:

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A , entonces A = B.

La relación de inclusión tiene las mismas propiedades que la relación de orden no estricto: es reflexiva (A ⊆ A); transitiva (A ⊆ B y B ⊆ C implican A ⊆ C); y antisimétrica (A ⊂ B y B ⊂ A implican A = B).

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