Función medible

En teoría de la medida, una función medible es aquella que preserva la estructura entre dos espacios medibles. Formalmente, una función entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen (también llamada imagen inversa) de cualquier conjunto medible es a su vez medible.

Dada una función ${displaystyle f:Omega _{1} o Omega _{2}}$ donde ${displaystyle (Omega _{2},{mathcal {A}}_{2})}$ es un espacio de medida, siempre puede construirse una σ-álgebra ${displaystyle {mathcal {A}}_{1}subset {mathcal {P}}(Omega _{1})}$ tal que la función f es una función medible entre los espacios ${displaystyle (Omega _{1},{mathcal {A}}_{1})}$ y ${displaystyle (Omega _{2},{mathcal {A}}_{2})}$, esto se logra definiendo ${displaystyle {mathcal {A}}_{1}}$ como la colección de subconjuntos definida por:

${displaystyle {mathcal {A}}_{1}:={Asubset Omega _{1}|exists Bin {mathcal {A}}_{2} land A=f^{-1}(B)}}$

Si f es una función medible entre esos dos conjuntos, entonces la σ-álgebra del conjunto antiimagen contendrá a la σ-álgebra mínima anterior.

Dada una función ${displaystyle f:Omega _{1} o Omega _{2}}$ donde ${displaystyle (Omega _{1},{mathcal {A}}_{1})}$ es un espacio de medida, siempre existe una σ-álgebra máxima ${displaystyle {mathcal {A}}_{2}subset {mathcal {P}}(Omega _{2})}$ tal que si f es una función medible entre los espacios ${displaystyle (Omega _{1},{mathcal {A}}_{1})}$ y ${displaystyle (Omega _{2},{mathcal {A}}_{2})}$, entonces la σ-álgebra sobre el conjunto imagen contiene a la siguiente sigma álgebra:

${displaystyle {mathcal {A}}_{2}:={Bsubset Omega _{2}|exists Ain {mathcal {A}}_{1} land B=f(A)}}$