Grupo topológico

En matemáticas, especialmente en topología, un grupo topológico (llamado también grupo continuo ^[1]​) es una terna ${displaystyle (G,{mathcal {T}},cdot )}$ tal que:

Las últimas dos condiciones pueden ser sustituidas por la siguiente condición equivalente: la función ${displaystyle G imes G o G}$ que aplica ${displaystyle (x,y)mapsto xcdot y^{-1}}$ es continua.

Un subtipo importante de grupos topológicos son los llamados grupos de Lie (nótese que, aunque todo grupo de Lie es un grupo topológico, existen grupos topológicos que no son grupos de Lie).

Es común requerir que la topología sobre G sea T₀, ya que todo grupo topológico T₀ es también regular.

Muchos de los objetos que investiga el análisis matemático son grupos topológicos (usualmente con estructura añadida), por ejemplo, el conjunto de los reales, con la adición que es continua Cada grupo puede ser convertido trivialmente en un grupo topológico considerándolo con la topología discreta. En este sentido, la teoría de los grupos topológicos subsume a la de los grupos ordinarios.

Los ejemplos anteriores son ejemplos de grupos abelianos, también abundan los ejemplos de grupos no abelianos, como lo son los grupos matriciales clásicos. Por ejemplo el grupo lineal general ${displaystyle mathrm {GL} (mathbb {F} ,n)}$ de orden n sobre un cuerpo algebraico ${displaystyle mathbb {F} }$.