Grupo lineal general

En matemáticas, el grupo lineal general (GL) de un espacio vectorial ${displaystyle scriptstyle E}$, denotado como ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(E)}$, es el grupo formado por todos los isomorfismos de ese espacio en sí mismo.

Cuando el espacio vectorial es ${displaystyle scriptstyle E=mathbb {F} ^{n}}$ siendo ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$ un cuerpo F (tal como ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$ o ${displaystyle scriptstyle mathbb {C} }$), se escribe ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(n,mathbb {F} )}$ (en lugar de ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(mathbb {F} ^{n})}$) y se llama grupo lineal general de grado n sobre el cuerpo. Este último grupo puede ser pensado como el grupo de matrices invertibles n por n con las entradas en ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (esto es ciertamente un grupo porque el producto de dos matrices invertibles es otra vez invertible, al igual que la inversa de una invertible.) Si el cuerpo es claro por contexto escribimos a veces ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(n)}$, o ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}_{n}}$.

El grupo lineal especial (SL), escrito ${displaystyle scriptstyle { ext{SL}}(n,mathbb {F} )}$ o ${displaystyle scriptstyle { ext{SL}}(n)}$, es el subgrupo de ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(n,mathbb {F} )}$ de las matrices con determinante 1.

Se definen el grupo especial lineal proyectivo ${displaystyle scriptstyle { ext{PSL}}(n)}$ y el grupo general lineal proyectivo ${displaystyle scriptstyle { ext{PGL}}(n)}$ como los cocientes de ${displaystyle scriptstyle { ext{SL}}(n)}$ y ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(n)}$ por sus grupos normales ${displaystyle scriptstyle { ext{Z(SL(n))}}}$ y ${displaystyle scriptstyle { ext{Z(GL(n))}}}$ respectivamente, donde el último es el grupo de matrices escalares no nulas.

El grupo ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(n,mathbb {F} )}$ y sus subgrupos se llaman a menudo grupos lineales o grupos matriciales. Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupo, y también se presentan en el estudio de simetrías espaciales y de simetrías de los espacios vectoriales en general, así como el estudio de los polinomios.

Si n ≥ 2, el grupo ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(n,mathbb {F} )}$ no es grupo abeliano.

Si ${displaystyle scriptstyle V}$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$, entonces escribimos ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(V)}$ o ${displaystyle scriptstyle { ext{Aut}}(V)}$ para el grupo de todos los automorfismos de ${displaystyle scriptstyle V}$, es decir el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas V → V, junto con la composición funcional como operación de grupo. Si la dimensión de V es n, entonces ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(V)}$ y ${displaystyle scriptstyle { ext{GL}}(n,mathbb {F} )}$ son isomorfos. El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de una base en V. Una vez que se haya elegido una base, cada automorfismo de V se puede representar como una matriz invertible n por n, que establece el isomorfismo.

Si consideramos el espacio euclídeo n-dimensional o ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n}}$ como espacio vectorial su grupo lineal estará representado por todas las aplicaciones lineales que admiten inversa. Si escogemos una base cualquiera para ese espacio vectorial, cada aplicación lineal podría expresarse mediante una matriz. Entonces el grupo lineal vendrá representado por el conjunto de todas las matrices que representan aplicaciones lineales que admiten inversa, y por tanto, por matrices cuyo determinante es diferente de cero (ya que el álgebra lineal establece que una aplicación lineal invertible viene representada en una base por una matriz de determinante diferente de cero).

Puede demostrarse que el grupo lineal sobre un espacio euclídeo n-dimensional puede considerarse como una variedad diferenciable dentro de ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{n^{2}}}$ por lo que la dimensión de este grupo de Lie como variedad diferenciable es n².

En un espacio vectorial normado E el grupo lineal GL(E) puede ser dotado de una topología inducida, y resulta ser un conjunto abierto dentro del conjunto de aplicaciones lineales o morfismos del espacio vectorial E.

Si el cuerpo ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$ es ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} }$ (los números reales) o ${displaystyle scriptstyle mathbb {C} }$ (los números complejos), entonces ${displaystyle scriptstyle GL(n)}$ es un grupo de Lie real o complejo de dimensión real o compleja n². La razón es como sigue: ${displaystyle scriptstyle GL(n)}$ puede representarse por matrices con determinante diferente de cero, el determinante es una función (incluso un polinomio) continuo, y por lo tanto ${displaystyle scriptstyle GL(n)}$ es un subconjunto abierto no vacío de la variedad de todas las matrices n por n, que tiene dimensión n².

El álgebra de Lie que corresponde a ${displaystyle scriptstyle GL(n)}$, designada frecuentemente como ${displaystyle scriptstyle {mathfrak {gl}}(n)}$, consiste en todas las matrices n × n sobre ${displaystyle scriptstyle mathbb {F} }$, con el conmutador como el corchete de Lie.

Mientras que ${displaystyle scriptstyle GL(n,mathbb {C} )}$ es conexo, ${displaystyle scriptstyle GL(n,mathbb {R} )}$ tiene dos componentes conexas: las matrices con determinante positivo y las de determinante negativo. Las matrices reales n por n con determinante positivo forman un subgrupo del ${displaystyle scriptstyle GL(n,mathbb {R} )}$ denotado por ${displaystyle scriptstyle GL^{+}(n,mathbb {R} )}$. Éste es también un grupo de Lie de dimensión real n² y tiene la misma álgebra de Lie que ${displaystyle scriptstyle GL(n,mathbb {R} )}$. ${displaystyle scriptstyle GL^{+}(n,mathbb {R} )}$ es conexo.

Ni ${displaystyle scriptstyle GL(n,mathbb {C} )}$ ni ${displaystyle scriptstyle GL^{+}(n,mathbb {R} )}$ son simplemente conexos (salvo, en el caso real, cuando n = 1). La variedad del grupo ${displaystyle scriptstyle GL(n,mathbb {C} )}$ tiene un grupo fundamental isomorfo a ${displaystyle scriptstyle mathbb {Z} }$ mientras que ${displaystyle scriptstyle GL^{+}(n,mathbb {R} )}$ tiene un grupo fundamental isomorfo a ${displaystyle scriptstyle mathbb {Z} }$ para n = 2 y a ${displaystyle scriptstyle mathbb {Z} _{2}}$ para n > 2.

Si F es un cuerpo finito con q elementos, entonces escribimos a veces GL(n, q) en vez de GL(n, F). GL(n, q) es un grupo finito con

elementos. Esto puede ser demostrado contando las columnas posibles de la matriz: la primera columna puede ser todo menos la columna cero; la segunda columna puede ser todo menos los múltiplos de la primera columna, etc.

El grupo lineal especial, SL(n, F), es el grupo de todas las matrices con determinante igual a 1. Que dicho conjunto constituye un grupo se sigue de la regla de multiplicación de determinantes. SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F).

Si escribimos F^× para el grupo multiplicativo de F (excluyendo el 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupos

${displaystyle det :GL(n,mathbb {F} ) o mathbb {F} ^{ imes }}$

El núcleo de la función es precisamente el grupo lineal especial. Por el primer teorema del isomorfismo vemos que GL(n, F)/SL(n, F) es isomorfo a F^×. De hecho, GL(n, F) se puede escribir como producto semidirecto de SL(n, F) por el F^×:

${displaystyle GL(n,mathbb {F} )=SL(n,mathbb {F} ) times mathbb {F} ^{ imes }}$

Cuando F es R o C, SL(n) es un subgrupo de Lie de GL(n) de dimensión n²-1. El grupo de Lie de SL(n) consiste en todas las matrices n × n sobre F con determinante unidad. Su álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {sl}}(n)}$ es puede representarse por matrices de traza nula y el corchete de Lie de esta álgebra viene dado por el conmutador.

El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de las transformaciones lineales de Rⁿ que preservan el volumen y la orientación.

El grupo SL(n, C) es simplemente conexo mientras que no lo es SL(n ,R). SL(n, R) tiene el mismo grupo fundamental que GL⁺(n, R), es decir, Z para n = 2 y Z₂ para n > 2.

El conjunto de todas las matrices diagonales forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo a (F^×)ⁿ. En cuerpos como R y C, éstas corresponden al reescalado del espacio; las llamadas expansiones y contracciones.

Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante por la matriz identidad. El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero, (a veces denotado Z(n, F), forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo al F^×. Este grupo es el centro de GL(n, F). En particular, es un subgrupo normal, abeliano.

El centro de SL(n, F), denotado SZ(n, F), es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unidad. Obsérvese que SZ(n, C) es isomorfo a las raíces n-ésimas de la unidad.

Los así llamados grupos clásicos son subgrupos de GL(V) que preserven una cierta clase de producto interno en V. Estos incluyen el

Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de los grupos de Lie.

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