Identidad de Parseval

En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita ${displaystyle q}$, entonces

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Sea ${displaystyle B={v_{1},v_{2},...,v_{q}}}$ una base ortogonal de un espacio producto interno ${displaystyle mathrm {V_{mathbb {K} }} }$ de cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$, ${displaystyle {igl (}mathbb {K} =mathbb {R} }$ o ${displaystyle mathbb {K} =mathbb {C} {igr )}}$

Se demuestra que ${displaystyle forall xin mathrm {V_{mathbb {K} }} }$:

entonces ${displaystyle alpha _{i}={frac {langle x,x angle }{||v_{i}||^{2}}}}$ , con ${displaystyle i=1,2,...,q}$

donde ${displaystyle alpha _{i}}$ son las coordenadas en base ${displaystyle B}$ del vector ${displaystyle x}$. Entonces

Si la base ${displaystyle B}$ es ortonormal, ${displaystyle ||v_{i}||=1}$, entonces resulta:

Para este caso, puede calcularse:

Por dos de los axiomas del producto interno, ${displaystyle (x,zy)={ar {z}}(x,y)}$, con ${displaystyle zin mathbb {K} }$ y ${displaystyle (x,y)={overline {(y,x)}}}$

resulta ${displaystyle (z'x,zy)={overline {z'{ar {z}}(y,x)}}=z{ar {z'}}{overline {(y,x)}}}$ con ${displaystyle z}$ y ${displaystyle z'in mathbb {K} }$ , entonces:

Como ${displaystyle (v_{i},v_{i})=||v_{i}||^{2}}$, y la base ${displaystyle B}$ es ortonormal ${displaystyle Rightarrow ||v_{i}||=1}$.

Además, usando la propiedad de los número complejos, ${displaystyle zcdot {ar {z}}=|z|^{2}}$, con ${displaystyle zin mathbb {K} }$ entonces:

quedando entonces la expresión

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

Forma real (o trigonométrica):

Siendo ${displaystyle T}$ el periodo y ${displaystyle c_{n}}$, ${displaystyle a_{n}}$, ${displaystyle b_{n}}$ los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que ${ extstyle a_{0}={frac {2}{T}}int _{-T/2}^{T/2}f(x)mathrm {d} x}$, en otro caso el coeficiente de ${displaystyle a_{0}^{2}}$ será diferente).