Isomorfismo musical

En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente ${displaystyle TM}$ y el fibrado cotangente ${displaystyle T^{*}M}$ de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial ${displaystyle gin {mathcal {T}}_{2}(M)}$ que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector ${displaystyle v_{p}in T_{p}M}$, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

definido por:

es decir,

Globalmente,

es un difeomorfismo.

El isomorfismo ${displaystyle {hat {g}}}$ y su inversa ${displaystyle {hat {g}}^{-1}}$ se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como ${displaystyle alpha ^{i}{frac {partial }{partial x^{i}}}}$ y un covector como ${displaystyle alpha _{i}dx^{i}}$, así que el índice i sube y baja en ${displaystyle alpha }$ del mismo modo que los símbolos sostenido (${displaystyle sharp }$) y bemol (${displaystyle flat }$) suben y bajan un semitono.

Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como: