Mapeado Schwarz-Christoffel

En análisis complejo, un mapeado Schwarz–Christoffel es una transformación conforme del semiplano superior por el interior de un polígono simple. El mapeado Schwarz–Christoffel se utiliza en teoría del potencial y en algunas de sus implicaciones, incluyendo superficies mínimas y dinámica de fluidos. Fue denominado así por Elwin Bruno Christoffel y Hermann Amandus Schwarz.

Considera un polígono en el plano complejo. El Teorema de representación conforme de Riemann implica que hay un mapeado biyectivo biholomórfico f desde el semiplano superior

hacia el interior del polígono. La función f mapea el eje real hacia los límites del polígono. Si el polígono tiene ángulos interiores ${displaystyle alpha ,eta ,gamma ,ldots }$, entonces ese mapeado está dado por

donde ${displaystyle K}$ es una constante, y ${displaystyle a<b<c<...}$ son los valores, junto al eje real del plano ${displaystyle zeta }$, de puntos correspondientes a los vértices del polígono en el plano ${displaystyle z}$. Una transformación de esta forma es llamada un Mapeo Schwarz–Christoffel.

Usualmente es conveniente considerar el caso en el cual el punto del infinito del plano ${displaystyle zeta }$ mapea hacia uno de los vértices del plano ${displaystyle z}$ del polígono (convencionalmente el vértice con ángulo ${displaystyle alpha }$). Si esto sucede, el primer factor de la fórmula es efectivamente una constante y puede considerarse como absorbida dentro de la constante ${displaystyle K}$.