Media armónica

La media armónica (designada usualmente mediante H) de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x₁, x₂, ... , x_n la media armónica será igual a:

${displaystyle {H}={frac {n}{sum _{i=1}^{n}{cfrac {1}{x_{i}}}}}={frac {n}{{cfrac {1}{x_{1}}}+cdots +{cfrac {1}{x_{n}}}}}}$

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

${displaystyle {frac {n}{{cfrac {1}{x_{1}}}+dots +{cfrac {1}{x_{n}}}}}leq {frac {x_{1}+dots +x_{n}}{n}}}$

Suele ser empleada para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

La media armónica surge de manera natural al calcular el índice de Paasche, uno de los números índice más comunes. Considérese una serie temporal ${displaystyle p_{1,t}q_{1,t}+cdots +p_{n,t}q_{n,t}}$ que resulta de agregar el valor nominal de la producción o el gasto ${displaystyle p_{i,t}q_{i,t}}$ en ${displaystyle n}$ mercancías. Para aislar cambios en cantidades de cambios en precios el índice de Laspeyres fija los precios del periodo anterior y compara el gasto hoy con los precios de ayer al gasto de ayer

Al dejar los precios fijos, se interpreta que ${displaystyle L_{t}}$ sólo refleja cambios en cantidades o reales. También se puede observar que se trata de una media donde el cambio en la cantidad de la mercancía ${displaystyle i}$ aparece ponderada por el peso del gasto en esta mercancía sobre el gasto total.

El índice de Paasche, al revés, procede a dejar fijos los precios de hoy: compara el gasto hoy con el gasto de ayer si hubieran prevalecido los precios de hoy.

De esta definición no podemos obtener una media ponderada como antes. Sin embargo, si se considera la fórmula invertida ocurre que

pero entonces

Esto es, el índice de Paasche resulta ser la media armónica de los cambios en cantidades en cada una de las mercancías.