Menor (álgebra lineal)

En álgebra lineal, un menor o menor complementario de una matriz ${displaystyle A}$ es el determinante de alguna submatriz, obtenido de ${displaystyle A}$ mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas se llaman primeros menores y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.

Sea ${displaystyle A}$ una matriz de ${displaystyle m imes n}$ y ${displaystyle k}$ un entero con ${displaystyle 0<kleq min{m,n}}$, un menor de orden ${displaystyle k imes k}$ de ${displaystyle A}$ es el determinante de una matriz ${displaystyle k imes k}$ obtenida de ${displaystyle A}$ mediante la eliminación de ${displaystyle m-k}$ filas y ${displaystyle n-k}$ columnas.

Puesto que hay:

maneras de escoger ${displaystyle k}$ filas de ${displaystyle m}$ filas, y hay

maneras de escoger ${displaystyle k}$ columnas de ${displaystyle n}$ columnas, hay en total

menores de tamaño ${displaystyle k imes k}$.

El menor ${displaystyle (i,j)}$ (a menudo denotado como ${displaystyle M_{ij}}$) de una matriz cuadrada ${displaystyle A}$ de ${displaystyle n imes n}$, es definido como el determinante de la matriz ${displaystyle (n-1) imes (n-1)}$ formada mediante la eliminación de la ${displaystyle i}$-ésima fila y la ${displaystyle j}$-ésima columna de ${displaystyle A}$. Un menor ${displaystyle (i,j)}$ puede ser referido también como ${displaystyle (i,j)}$-ésimo menor, o simplemente menor ${displaystyle ij}$ .

${displaystyle M_{ij}}$ puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento a_ij de la matriz ${displaystyle A}$, en cuyo caso decimos que ${displaystyle M_{ij}}$ es el menor de ${displaystyle a_{ij}}$

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada ${displaystyle A}$ (tal como ${displaystyle M_{ij}}$) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.^[1]​

El determinante de cualquier submatriz de ${displaystyle k imes k}$ de ${displaystyle A}$ se llama menor de tamaño ${displaystyle k}$.

Tomando ${displaystyle A={egin{bmatrix}1&2&3\-1&1&-1\2&0&5end{bmatrix}}}$ La submatriz ${displaystyle B}$ = ${displaystyle A[{1,2}]}$ = ${displaystyle {egin{bmatrix}1&2\-1&1\end{bmatrix}}}$ es una submatriz principal y su determinante ${displaystyle |A|=(1)(1)-(2)(-1)=3}$ es un menor principal.

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&2&3\-1&1&-1\2&0&5end{bmatrix}}}$En la misma matriz, las submatrices superiores son: ${displaystyle A_{1}=A[{1}]={egin{bmatrix}1end{bmatrix}}}$; ${displaystyle A_{2}=A[{1,2}]={egin{bmatrix}1&2\-1&1\end{bmatrix}}}$; ${displaystyle A_{3}=A[{1,2,3}]={egin{bmatrix}1&2&3\-1&1&-1\2&0&5end{bmatrix}}=A}$ Los determinantes de las submatrices |${displaystyle A_{1}}$| = 1, |${displaystyle A_{2}}$| = 3, |${displaystyle A_{3}|}$ = 26 son los menores escalonados superiores.

${displaystyle A={egin{bmatrix}5&4&3\2&1&5\2&0&5end{bmatrix}}}$ Las submatrices escalonadas inferiores de A son: ${displaystyle A_{1}=A[{1}]={egin{bmatrix}5end{bmatrix}}}$ ;${displaystyle A_{2}=A[{1,2}]={egin{bmatrix}1&5\0&5\end{bmatrix}}}$ ;${displaystyle A_{3}=A[{1,2,3}]={egin{bmatrix}5&4&3\2&1&5\2&0&5end{bmatrix}}=A}$ Los determinantes de las submatrices ${displaystyle |A_{1}|=1}$ , ${displaystyle |A_{2}|=5}$ , ${displaystyle |A_{3}|=19}$ son los menores inferiores principales.^[2]​