Matriz inversa

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada ${displaystyle A}$ de orden ${displaystyle n}$ se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden ${displaystyle n}$, llamada matriz inversa de ${displaystyle A}$ y denotada por ${displaystyle A^{-1}}$ si ${displaystyle Acdot A^{-1}=A^{-1}cdot A=I_{n}}$, donde ${displaystyle I_{n}}$ es la matriz identidad de orden ${displaystyle n}$ y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular ${displaystyle A}$ se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna ${displaystyle X}$ es igual a cero para algún ${displaystyle X}$ no nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Dada una matriz ${displaystyle A}$ de tamaño ${displaystyle 2 imes 2}$ con determinante no nulo entonces

y esta está definida siempre y cuando ${displaystyle ad-bc eq 0}$. Así por ejemplo la inversa de la matriz

ya que

Dada una matriz ${displaystyle A}$ de tamaño ${displaystyle 3 imes 3}$ con determinante no nulo:

donde se definen

Sea ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{n imes n}}$ una matriz de rango máximo

donde ${displaystyle {egin{vmatrix}Aend{vmatrix}}}$ es el determinante de ${displaystyle A}$ y ${displaystyle operatorname {adj} {(A)} }$ es la matriz de adjuntos de ${displaystyle A}$, entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​^[5]​ en el artículo matriz de adjuntos).

Supongamos que ${displaystyle B}$ y ${displaystyle C}$ son inversas de ${displaystyle A}$

${displaystyle AB=BA=I,quad { ext{y}}quad AC=CA=I}$

Multiplicando ambas relaciones por ${displaystyle C}$

${displaystyle (BA)C=IC=C,quad { ext{y}}quad (BA)C=B(AC)=BI=B}$

De modo que ${displaystyle B=C}$ y se prueba que la inversa es única.

Se probará la doble implicación.

Supongamos que existe ${displaystyle B}$ tal que ${displaystyle AB=BA=I}$. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que ${displaystyle det(I)=1}$ tenemos que

por lo que deducimos que ${displaystyle det(A)}$ es distinto de cero.

Supongamos que el determinante de ${displaystyle A}$ es distinto de cero. Sea ${displaystyle a_{ij}}$ el elemento ij de la matriz ${displaystyle A}$ y sea ${displaystyle A_{ij}}$ la matriz ${displaystyle A}$ sin la fila ${displaystyle i}$ y la columna ${displaystyle j}$ (comúnmente conocida como ${displaystyle j}$-ésimo menor de A). Entonces tenemos que

Además, si ${displaystyle k eq j}$, entonces podemos deducir que

pues la parte izquierda de la relación es el determinante de ${displaystyle A}$ con la columna ${displaystyle j}$ sustituida por la columna ${displaystyle k}$ y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.

De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener

donde ${displaystyle delta _{jk}}$ es la delta de Kronecker.

Por tanto, sabiendo que ${displaystyle (I)_{ij}=delta _{ij}}$ tenemos que

es decir, que ${displaystyle A}$ tiene inversa por la izquierda

Como ${displaystyle left({ ext{adj}}(A) ight)^{T}={ ext{adj}}left(A^{T} ight)}$, entonces ${displaystyle A^{T}}$ también tiene inversa por la izquierda que es

Entonces

luego, aplicando la transpuesta

que es lo que se quería demostrar.

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:^[6]​

Esto es posible siempre y cuando ${displaystyle ad-bc eq 0}$, es decir, el determinante de la matriz no es cero.

Ejemplo numérico:

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

Donde ${displaystyle {egin{vmatrix}Aend{vmatrix}}}$ es el determinante de ${displaystyle A}$ y ${displaystyle operatorname {adj} {(A)} }$ es la matriz de adjuntos de ${displaystyle A}$.

Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.

El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.

El conjunto de todas las matrices ${displaystyle n imes n}$ que admiten inversa es una representación lineal del grupo lineal de orden n, denotado como ${displaystyle { extrm {GL}}(n)}$. Este grupo tiene importantes aplicaciones en álgebra y física. Además ${displaystyle { extrm {GL}}(n)subset M_{n imes n}}$ es un conjunto abierto (con la topología inducida de ${displaystyle mathbb {R} ^{n^{2}}}$).