Núcleo (matemáticas)

En matemáticas y especialmente en álgebra lineal, dada la transformación lineal ${displaystyle T:V o W}$, el kernel o núcleo de ${displaystyle T}$, denotado por ${displaystyle operatorname {Ker} (T)}$ o ${displaystyle operatorname {Nuc} (T)}$, se define como el conjunto de todos los vectores en ${displaystyle V}$ cuya imagen bajo ${displaystyle T}$ sea el vector nulo de ${displaystyle W}$, es decir, el ${displaystyle operatorname {Ker} (T)}$ se define como

Considere la función

que es lineal cumple que para ${displaystyle alpha in mathbb {R} }$ y ${displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})in mathbb {R} ^{2}}$

Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden pues

en concreto el ${displaystyle operatorname {Ker} (f)}$ es el conjunto:

que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta ${displaystyle y=x}$ en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.

En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3), la forma lineal dada por el producto escalar ${displaystyle acdot x}$ tiene por núcleo los vectores que satisfacen la ecuación matricial

que equivale a la ecuación lineal:

La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores: ${displaystyle {mathcal {L}}left((-2,1,0),(-3,0,1) ight)}$.

Dado un operador lineal ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{m}}$ con matriz asociada A, el núcleo es un subespacio de ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, cuya dimensión se denomina nulidad de A, que coincide con el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.