Números irracionales

En matemáticas, un número irracional es un valor que no puede ser expresado como una fracción ${displaystyle {frac {m}{n}}}$, donde ${displaystyle m,nin mathbb {Z} }$ y ${displaystyle n eq 0}$.^[1]​ Es cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica.^[1]​

Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como √7 = 2,64575131106459059050161... no puede representar un número racional. A tales números se les nombra "números irracionales". Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros.^[2]​ El número pi (${displaystyle pi }$), número e y el número áureo (${displaystyle phi }$) son otros ejemplos de números irracionales.^[1]​

Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.^[3]​ Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a Hípaso de Metaponto perteneciente a un grupo de matemáticos pitagóricos de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.^[3]​

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.

Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos números.^[3]​

No existe una notación universal para indicarlos, como ${displaystyle mathbb {I} }$, que sea generalmente aceptada. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituye alguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales (${displaystyle mathbb {N} }$), los enteros (${displaystyle mathbb {Z} }$), los racionales (${displaystyle mathbb {Q} }$), los reales (${displaystyle mathbb {R} }$) y los complejos (${displaystyle mathbb {C} }$), por un lado, y que la ${displaystyle mathbb {I} }$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios, lo cual puede crear confusión. Fuera de ello,

${displaystyle mathbb {I} :=mathbb {R} ackslash mathbb {Q} ={xin mathbb {R} |x otin mathbb {Q} }}$

Los números irracionales son los elementos de la recta real que cubren los vacíos que dejan los números racionales, ya que muchas sucesiones de racionales tienen como límite un número que no es un número racional.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. Puede definirse al número irracional como una fracción decimal no periódica infinita.^[4]​ En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, y se dice con toda propiedad que el número √2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los decimales que faltan. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos:

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son numerables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

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