Permutación y grupo simétrico

En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto X, denotado por S_X, es el grupo formado por las aplicaciones biyectivas de X en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones.^[1]​

Cuando X = {1,...,n} es un conjunto finito, el grupo S_X se denomina grupo de permutaciones de n elementos, y se denota por S_n. El orden de este grupo es n!, y no es abeliano para n≥3.

El teorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de su grupo simétrico S_G. En el caso particular de que G sea finito de orden n, entonces G es isomorfo a un subgrupo de S_n.^[2]​

Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),....

Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones:

su composición es: ${displaystyle au circ sigma ={egin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\2&1&5&6&3&4\end{pmatrix}}}$

El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:

Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de ${displaystyle S_{n}}$. Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma ${displaystyle au _{i}=(i,i+1)}$. En efecto, para i<j podemos descomponer cualquier trasposición en la forma:

Estos generadores permiten definir una presentación del grupo simétrico, junto con las relaciones:

Es posible igualmente usar como sistema de generadores:

Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de S_n se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en S_n si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S₅, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no.

El grupo S₃, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos:

El grupo S₄, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación:

En general, cada clase de conjugación en S_n se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente:

Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.^[3]​